Techniklexikon

Mathematische Physik - Erfolge und Misserfolge

Mathematische Methoden und Computereinsatz

Vielfach gewinnt man den Eindruck, Aufgabe der mathematischen Physik sei es, die Physik durch veredelnde Abstraktionen von allen irdischen Schlacken zu reinigen und sie so in eine Sphäre zu entrücken, in die naive Vorstellungsgabe und gesunder Menschenverstand nicht folgen können. Die Probleme scheinen jedoch anderswo zu liegen: Die grundlegenden Naturgesetze sind in den weitesten Bereichen bekannt, das Unbekannte ist auf die Physik des ganz Kleinen und des ganz Grossen zusammengeschmolzen. Aber die menschliche Rechenkunst ist nur in den einfachsten Fällen imstande, tatsächlich aus den Gesetzen Resultate mathematisch abzuleiten. Meistens muss man, von der Intuition geführt oder verführt, zu unkontrollierbaren Näherungen Zuflucht nehmen. So zerbröckelt die logische Einheit, und die Wissenschaft wird zur Kunde unzähliger Spezialgebiete mit eigener Sprache und Folklore. Nun hat sich die Mathematik in den letzten hundert Jahren doch soweit entwickelt, dass sie uns Fragen beantwortet, denen die Intuition zunächst hilflos gegenübersteht, da sie in dieser Richtung nie geschult wurde. So gewährt die mathematische Physik vielfach tiefere Einsichten, welche durch einfache Argumente nicht zu gewinnen sind, und kann so manche Lücke füllen. Dies soll an drei der härtesten Nüsse, die in den sechziger und siebziger Jahren in der mathematischen Physik geknackt wurden, illustriert werden. Sie machen auch klar, dass es sich keineswegs um Epsilontik oder Details handelt, sondern vielmehr um grundlegende qualitative Züge.

1. Der KAM-Satz

Die meisten Beispiele, die man in Büchern über klassische Mechanik findet, sind sogenannte integrable Systeme. Hat das System n Freiheitsgrade, so haben sie n konstante Wirkungsvariable und n Winkelvariable. Ein Prototyp davon sind etwa n harmonische Oszillatoren mit der Hamilton-Funktion

.

Hier gibt es die n Konstanten , und die Bahn erfüllt daher nicht die ganze (2n - 1)-dimensionale Energieschale, sondern höchstens einen n-dimensionalen Torus. Die Klasse der integrablen Systeme ist etwas allgemeiner, für sie können die Omegas von den Wirkungsvariablen abhängen. Ein integrables System verhält sich daher nicht ergodisch und strebt somit auch keinem Gleichgewicht zu. Durch fast hundert Jahre hindurch war nun die Ansicht verbreitet, dass es sich bei (1) um einen entarteten Fall handele und dass durch eine kleine Störung (»Kohlestäubchen«) die Konstanten ausser H zerstört würden und sich ein Gleichgewicht einstellte. Sogar E. Fermi glaubte noch, dies mathematisch beweisen zu können. Man verdankt den Arbeiten von Kolmogorow, Arnold und Moser die Einsicht, dass dem nicht so ist, dass durch eine kleine Störung die meisten Tori nur deformiert werden, die Bahn im allgemeinen daher wieder auf eine n-dimensionale Fläche gebannt bleibt. Da es sich dabei um eine der grundlegenden Fragen des Vielkörperproblems handelt, soll kurz untersucht werden, wieso hier Fermis sonst so brillante Intuition überfordert war.

Bei periodischen Bewegungen wird der Effekt einer Störung zeitlich gemittelt und bleibt daher klein, es sei denn, er wird durch Resonanzeffekte aufgeschaukelt. Dies ist schon im einfachsten Fall ersichtlich: Addiert man etwa zu (1) mit n = 2 eine Störung , so werden die neuen

Dies lässt sich nach  entwickeln, solange . Die Störung hat also kleinen Einfluss, ausser wenn die Frequenzen fast entartet sind. Der KAM-Satz verallgemeinert dies zur Aussage, dass die Störung bei rationaler Abhängigkeit der Frequenzen die Eigenschaften des Systems verändern kann; sind die  aber genügend rational unabhängig, ist man also genügend weit weg von den Resonanzen, so verformt sie nur etwas die Tori, welche die Bahn umrankt. Aber was heisst genügend rational unabhängig? Die rationalen Zahlen liegen ja auf der Zahlengeraden dicht und durch ganzzahlige Kombinationen zweier rational unabhängiger Frequenzen lässt sich jede Frequenz beliebig genau approximieren. Es ist also alles mit fast allem irgendwie rational verwandt und schwingt daher mit. Aber so wie die entfernten Obertöne, obgleich dissonant, die Musik nicht stören, da sie nur ganz schwach angeregt werden, so sind auch hier jene , für die

nur klein wird, wenn die g_i sehr gross werden, weniger wirksam. Das genaue Kriterium ist nämlich, dass, falls für all n-Tupel ganzer Zahlen (g_i)

gilt, die invarianten Tori durch Störungen, deren Stärke unter einer gewissen fallenden Funktion von c liegt, nur etwas verformt werden. Dabei müssen die w von den Winkelvariablen abhängen, und nur die Tori, die so im Phasenraum liegen, dass (2) verletzt ist, werden daher zerstört. Dies ist nun an allen rationalen Punkten des n-dimensionalen Raumes der w der Fall, und man könnte voreilig schliessen, dass dann nichts Unzerstörtes überbleibt. Tatsächlich ist das Mass der w, die (2) mit genügend kleinem c erfüllen, in jeder Kugel fast das ganze Mass der Kugel. Man hat hier das von den Cantor-Mengen (Cantorus) her bekannte Paradoxon einer nirgends dichten Menge - ihr Komplement ist offen und enthält die rationalen Punkte -, deren Mass aber fast das ganze Mass ausschöpft. Das einfachste Beispiel dafür erhält man, indem man die rationalen Zahlen irgendwie durchnumeriert, etwa r_n, , und durch immer kleinere offene Intervalle einschliesst:

ist offenbar offen und dicht, hat aber ein Mass . Ganz analog ist die Menge der w, die (2) verletzen, gebaut. Sie enthält die rationalen Punkte, hat aber kleines Mass, da für Resonanzen weiterer Verwandtschaft ( gross)  gross werden darf, also nur kleine Frequenzgebiete ausgeschlossen werden. Es ist klar, dass die Physiker der zwanziger Jahre auf diese Unterscheidung des topologischen Begriffs einer nirgends dichten Menge und des masstheoretischen Begriffs einer Menge kleinen Masses nicht vorbereitet waren. Da das Mass  als Wahrscheinlichkeitsmass im Phasenraum zu interpretieren ist, ist der masstheoretische Begriff der physikalisch relevante. Meistens wird man sich im Phasenraum an einem solchen Punkt befinden, für den der Torus durch ihn nur verformt wird. Da aber Tori in unmittelbarer Nähe zerstört werden, ist die Situation so kompliziert, dass eine Lösung dieser so grundlegenden Frage durch ein einfaches Argument zum Scheitern verurteilt ist. Leider werden daher die Abschätzungen für die Konstante c so roh, dass man für eine grössere Zahl von Freiheitsgraden n nur für lächerlich kleine Störungen ein Resultat bekommt. Ob dies nur an der Beweismethode liegt und der Satz für das echte Vielkörperproblem Relevanz hat, ist eine noch offene Frage.

2. Gravitationskollaps und Singularitätensätze

Vor Beginn des Zweiten Weltkrieges hat Robert Oppenheimer mit verschiedenen Mitarbeitern Lösungen zu den Einstein-Gleichungen gefunden, die den Zusammenbruch eines Sternes beschreiben. Er zieht sich in endlicher Eigenzeit auf einen Punkt zusammen, und es verbleibt nur eine Singularität in der Metrik. Dieses Geschehen ist vielleicht nicht so verwunderlich, da in der Lösung nur eine rein radiale Bewegung studiert wird: Wenn alles scharf auf den Mittelpunkt zielt, muss es ja dort zur Katastrophe kommen. Spezifisch von der Einsteinschen Theorie geht nur ein, dass Druck ebenfalls Gravitation erzeugt und nicht hilft, den Kollaps aufzuhalten. Man könnte jedoch vermuten, dass sich bei Bewegung mit Drehimpuls das Schicksal wendet, und vielfach wurde behauptet, dass es sich hier nur um eine Pathologie einer Lösung mit zu grosser Symmetrie handele. So glaubten Lifschitz und Mitarbeiter zeigen zu können, dass im allgemeinen keine Singularität entsteht. Das Interesse an dem Problem liegt auf der Hand, geht es doch um folgendes: bildet sich nur unter so speziellen Umständen ein Schwarzes Loch, dass es praktisch nie dazu kommt, oder geschieht dies für die meisten Anfangsbedingungen, so dass es im Weltall von Schwarzen Löchern nur so wimmeln sollte? Die Frage wurde zugunsten letzterer Alternative (in abgeschwächter Form) von R. Penrose und anderen Forschern aus der Schule von D. Sciama beantwortet. Zu diesem Schluss kommt man im einfachsten Fall durch Kombination eines simplen physikalischen Tatbestandes mit einer sehr plausibel klingenden geometrischen Behauptung. Da sie aber eine globale Aussage ist, birgt sie den nichttrivialen Teil und erklärt, warum sich dabei durch das übliche Herumrechnen mit der Einsteinschen Gleichung nichts entscheiden lässt.

Zunächst benützt man die einfach zu beweisende Tatsache, dass Bahnen frei fallender Teilchen, wenn sie einmal konvergieren, durch die Gravitation in dieser Tendenz höchstens bestärkt werden. Dies drückt nur die anziehende Natur der Schwerkraft aus und gilt schon nichtrelativistisch, sofern alle Massen positiv sind. Letzteres wird in der Einsteinschen Theorie durch die Forderung ersetzt, dass Energiedichte + Druck positiv sein müssen. Man kann dann leicht sehen, dass sich konvergierende Weltlinien nach endlicher Zeit überkreuzen müssen. Dies ist an sich kein Malheur und kann ohne weiteres auch im flachen Raum geschehen, wo die Weltlinien frei fallender Teilchen Geraden sind. Hier setzt nun das geometrische Argument ein, welches benützt, dass die Weltlinien frei fallender Teilchen geodätische Linien sind. Von einer raumartigen Anfangsfläche ist zu jedem Punkt die Bahn mit längster Eigenzeit eine geodätische Linie, welche im Sinne der Lorentz-Metrik senkrecht auf der Fläche steht. Überkreuzen sich aber zwei benachbarte geodätische Linien, können sie nicht Bahnen längster Eigenzeit sein, denn durch Abrunden der Ecke kann man eine Bahn konstruieren, auf der längere Zeit zur Fläche verstreicht. Hier braut sich ein Widerspruch zusammen, denn man wird erwarten, dass es von jedem Punkt eine längste Linie zur Anfangsfläche gibt. Dies lässt sich auch zeigen, sofern jede geodätische Linie durch den Punkt die Anfangsfläche schneidet. Dies ist natürlich zu verlangen, denn schon in der euklidischen Ebene (siehe [18]Abb. 1) gibt es vom Punkt (0, 1) keine kürzeste Gerade zur positiven x-Achse .

Ferner kann es auch geschehen, dass sich zwar geodätische Linien kreuzen, durch jeden Punkt aber auch ungekreuzte gehen, dann sind eben letztere die extremalen Linien. Dies sieht man wieder in der Ebene, wenn man nach der kürzesten Linie von einem Punkt P zu einer gekrümmten Anfangsfläche fragt. Sie ist die Gerade senkrecht zur Fläche, welche sich nicht mit ihren Nachbarn kreuzt (siehe [19]Abb. 2).

Hat man nun eine Anfangsfläche, so dass sie jede zeitartige geodätische Linie durch einen Punkt schneidet, und konvergieren auf der Anfangsfläche alle senkrechten geodätischen Linien so, dass sie sich vor dem Punkt mit ihren Nachbarn kreuzen, dann gerät man in einen Widerspruch. Es müsste von dem Punkt eine Linie längster Eigenzeit zur Fläche geben, sie müsste eine ungekreuzte geodätische Linie senkrecht zur Fläche sein, solche gibt es aber nicht. Die Schlussfolgerung ist, dass sich der Raum nicht bis zum Punkt fortsetzen lässt. Man sieht hier sofort die Schwäche der Aussage, die durch die geometrische Natur des Arguments entsteht. Es wird nicht gesagt, was physikalisch eigentlich geschieht, sondern man erfährt nur, dass Beobachter nach endlicher Eigenzeit ans Ende der Welt kommen und dann nicht recht wissen, was sie tun sollen, da die Naturgesetze nicht weiter spezifiziert sind. Vermutlich macht sich das Ende der Welt durch immer grösser werdende Gezeitenkräfte bemerkbar und wird von niemandem lebend erreicht.

3. Stabilität der Materie

In der Thermodynamik wird postuliert, dass die Energie eine extensive Grösse ist, die Energie pro Teilchen für ein grosses System einem Grenzwert zustrebt. Da gewöhnliche Materie aus Elektronen und Atomkernen besteht, und diese einer Schrödingergleichung

genügen, wäre

, mit A einer Konstanten von der Ordnung der Rydberg-Energie, zu zeigen. Es ist bemerkenswert, dass die Gleichung (3) durch Jahrzehnte etwa in der Festkörperphysik verwendet wurde, wobei man die fundamentale Ungleichung (5) immer vorausgesetzt, aber nie bewiesen hat. Erst 1965 ist es Dyson und Lenard gelungen, (5) zu beweisen. Diese Ungleichung versichert uns, dass der Zustand der Materie um uns nahe dem tatsächlichen Grundzustand ist, und letzterer nicht etwa unheimlich hohe Dichte und Bindungsenergie hat. So plausibel dies klingen mag, so schwer ist es, (5) zu beweisen. Zunächst hat man den trivialen Umstand, dass in (4) eine Doppelsumme mit ~ N² Termen steht, und wenn etwas ~ N herauskommen soll, so muss sich sehr viel kompensieren. Haben alle Terme dasselbe Vorzeichen, wie es etwa beim Gravitationspotential der Fall ist, besteht keine Chance für Stabilität. Aber auch für Coulomb-Kräfte gilt (5) nicht allgemein, wie folgendes naive Argument zeigt. Ist das System in einem Volumen ~ R³, so ist wegen der Unschärferelation die kinetische Energie (ohne Fermi-Dirac-Statistik) . Für die potentielle Energie nehmen wir an, dass sich die Ladungen abwechselnd positiv und negativ verteilen. Dann hat jede Ladung umgekehrt geladene Nachbarn, und das Feld der Ladungen weiter weg wird abgeschirmt. Die potentielle Energie wird dann -e²N / (Abstand zum nächsten Nachbarn) ~ -e²N^{4 / 3} / R. Das Minimum der Summe beider Energien ergibt sich für R ~ N^{-1 / 3} zu E_N ~ -N^{5 / 3}. Nur wenn durch Fermi-Dirac-Statistik die kinetische Energie pro Teilchen nicht mit R^-2, sondern mit (R / N^{1 / 3})^-2 ansteigt, ergibt sich ein Minimum für R ~ N^{1 / 3}, das wie E_N ~ -N geht. Dieses Argument ist natürlich sehr roh und nicht schlüssig, man sieht aber folgendes:

l. Bei Instabilität fällt R mit wachsendem N, die Dichte wird immer grösser, um die Singularität des Coulomb-Potentials besser auszunützen. Es ist also nicht die lange Reichweite des 1 / r-Potentials, welche die Stabilität bedroht, und daher ist sie für ein Yukawa-Potential und für Kernmaterie genau so schwer zu beweisen.

2. Entfernt man die 1 / r-Singularität durch einen Formfaktor bei 10^-13 cm, so erhält man zwar Stabilität, aber sicher nicht die richtige Erklärung dafür. Dies würde ja in (5)  geben, man sucht aber .

3. Aus der Erfahrung, die man von Molekülberechnungen gewinnt, lässt sich nicht auf die Stabilität der Materie schliessen. Genauer kann man ja doch nur Moleküle mit ein oder zwei Elektronen berechnen, und hier kommt die Fermi-Dirac-Statistik noch nicht ins Spiel. Man würde so also auch auf Stabilität für Elektronen mit Bose-Einstein-Statistik schliessen, was aber falsch ist.

Dyson und Lenard haben einen heroischen Frontalangriff auf dieses schwierige Problem unternommen. In einer langen Analyse haben sie aus den durch die Fermi-Dirac-Statistik erzwungenen Nullstellen von  genügend kinetische Energie herausgewirtschaftet, um (5) zu zeigen. Der Preis war hoch, A war von der Ordnung 10¹⁴ Ry. Erst zehn Jahre später ist es E. Lieb und dem Autor gelungen, die anfangs gegebene naive Überlegung direkt in exakte Ungleichungen zu fassen und so ein A der richtigen Grössenordnung zu gewinnen. Es geht darum,  oder genauer

(r: Elektronendichte) zu beweisen. Der rechts stehende Ausdruck für die kinetische Energie wird in der Thomas-Fermi-Theorie verwendet und sollte demnach eine untere Schranke für die kinetische Energie sein. Wir konnten allerdings (6) nicht mit dem c der Thomas-Fermi-Theorie beweisen, sondern nur mit einer um 4p kleineren Konstante. Vermutlich gilt (6) aber sogar mit der Konstanten der Thomas-Fermi-Theorie, und letztere gibt auch eine untere Schranke für die Gesamtenergie. In diesem Fall erweist sich die physikalische Intuition den Methoden, welche man in Mathematikbüchern findet, überlegen. Dort werden kaum nichtlineare Ausdrücke wie r^{5 / 3} zur Abschätzung von Eigenwerten der linearen Gleichung (3) verwendet.

Zusammenfassend möchte ich die These vertreten, dass in der Physik jeder gute Beweis so weit als möglich den Spuren der Intuition folgen sollte. Umgekehrt ist die Intuition nur gut, wenn sie sich in strenge mathematische Schranken fassen lässt, sonst bleibt sie ein Luftschloss menschlicher Phantasie.

 

Mathematische Physik 1: Zum Problem der kürzesten Geraden in der Ebene.

 

Mathematische Physik 2: Zum Problem der kürzesten Linie zu einer gekrümmten Anfangsfläche.