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fraktales Wachstum

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, Begriff für natürliche Wachstumsprozesse, die u.a. zu fraktalen Oberflächen führen. Beispiele sind das Kristallwachstum aus einer unterkühlten Schmelze, elektrolytische Abscheidungen, die Ausbreitung von Bakterienkolonien oder das Wachstum dünner Schichten durch Molekularstrahlepitaxie (Fraktale). Ein einfaches Modell für fraktales Wachstum ist die ballistische Anlagerung (ballistic deposition). Das entsprechende dynamische Modell in einer Raumdimension ist in Abb. 1 illustriert. Teilchen (A oder B) werden an zufällig ausgewählten Orten sequentiell von oben deponiert und an dem schon bestehenden Aggregat angelagert, sobald eine Berührung stattfindet. Bezeichnet man mit h(l, t) die Höhe des Aggregats am diskreten Ort l (1 £ l £ L) zur diskreten Zeit t, so kann man die Evolutionsgleichung einfach als h(r, t + 1) = max[h(r - 1, t),
h(r, t), h(r + 1, t)] formulieren, wobei r ein zufällig ausgewählter Ort, mit der Anfangsbedingung h(l, t = 0) = 0 für alle l. Die mittlere Höhe des Aggregats wächst linear in der Zeit, , also mit konstanter Geschwindigkeit, während die mittlere Fluktuation der Höhe, bzw. die »Dicke« der Oberfläche

 

zunächst wie tb anwächst, um dann für endliche Systeme bei einem Sättigungswert zu verharren, der mit der Systemgrösse L wie La skaliert. Im Kontinuumslimes (Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung) findet man a = 1 / 2 und b = 1 / 3 in guter Übereinstimmung mit diskreten Simulationen. Das Anwachsen der Fluktuationen (Wachstumsexponent b) in der Zeit ist aus Abb. 2 ersichtlich. Die L-Abhängigkeit der asymptotischen Rauhigkeit (Rauhigkeits-Exponent a, auch Hurst-Exponent) bedeutet, dass sich langreichweitige Korrelationen im Raum aufgebaut haben. Für andere Modelle erhält man qualitativ dasselbe Verhalten, jedoch mit anderen dimensionsabhängigen Exponenten a und b. Die erhaltenen Oberflächen sind typischerweise statistisch selbstaffin (Selbstaffinität).

Eine völlig andere Klasse von fraktalen Wachstumsprozessen wird durch Modelle mit nicht-lokalen Regeln beschrieben, von denen das bekannteste die diffusionsbegrenzte Anlagerung ist.

fraktales Wachstum

fraktales Wachstum 1: Das Modell der ballistischen Anlagerung ist auf einem Gitter definiert. Senkrecht von oben einfallende Teilchen A und B bleiben an den nächstgelegenen Aggregatteilchen hängen (A´ und B´).

fraktales Wachstum

fraktales Wachstum 2: Ein Cluster, der durch ballistische Anlagerung erzeugt wurde. Die Änderung der Schattierung wurde nach jeweils 5000 Anlagerungsereignissen vorgenommen, um die mit der Zeit zunehmende Oberflächenrauhigkeit zu visualisieren (nach Barabasi/Stanley 1995).

 

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