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Kurven und Flächen im Raum

spezielle Abbildungen von Kurven und Flächen im Raum und Kurven und Flächen im Raum in den Vektorraum Kurven und Flächen im Raum, die insbesondere in der Differentialgeometrie untersucht werden. In der Mechanik wird manchmal die Bewegung von Teilchen entlang von Raumkurven oder auf Flächen untersucht. Raumkurven werden gewöhnlich durch

Kurven und Flächen im Raum

parametrisiert. Die Bogenlänge s zwischen zwei Raumpunkten r1 und r2 folgt aus

Kurven und Flächen im Raum 

Bei gegebenem Fusspunkt r1 stellt die Bogenlänge s eine besonders nützliche Parametrisierung von Raumkurven dar. Der Einheitsvektor

Kurven und Flächen im Raum

gibt die Richtung der Tangente im Punkt r(t); er zeigt in die positive Kurvenrichtung. Mit Hilfe der zweiten Ableitung

Kurven und Flächen im Raum

kann die Krümmung k und der Hauptnormalenvektor n berechnet werden; r = 1 / k heisst Krümmungsradius. t und n spannen zusammen die Schmiegungsebene einer Raumkurve in einem bestimmten Punkt auf. Aus den zueinander orthogonalen Vektoren t und n lässt sich mit der Binormalen Kurven und Flächen im Raum das begleitende Dreibein Kurven und Flächen im Raum bilden; die von t und b aufgespannte Ebene heisst auch rektifizierende Ebene. Schliesslich lässt sich noch die Windung bzw. Torsion w einer Raumkurve definieren:

Kurven und Flächen im Raum 

Ist Kurven und Flächen im Raum in allen Kurvenpunkten, so liegt die Raumkurve in einer Ebene. Ist die Raumkurve nicht nach s parametrisiert, so gilt

Kurven und Flächen im Raum 

und Kurven und Flächen im Raum 

Damit lassen sich nun die Fresnelschen Formeln, die Beziehungen zwischen den Ableitungen der Vektoren t, n, b des begleitenden Dreibeins beschreiben, beweisen:

Kurven und Flächen im Raum

Kurven und Flächen im Raum

Kurven und Flächen im Raum

Flächen im Raum bieten in Verallgemeinerung von (*) die Möglichkeit der Parametrisierung Kurven und Flächen im Raum. Daneben können Flächen im Raum explizit, d.h. Kurven und Flächen im Raum, oder implizit durch Kurven und Flächen im Raum definiert werden. Als Beispiel sei mit Kurven und Flächen im Raum die Oberfläche einer Kugel mit Radius R genannt:

Kurven und Flächen im Raum

Kurven und Flächen im Raum

Kurven und Flächen im Raum

Die implizite Darstellung lautet  Kurven und Flächen im Raum. Die Tangentenvektoren einer Fläche in einem Punkt der Fläche sind

Kurven und Flächen im Raum

und Kurven und Flächen im Raum

Mit Hilfe der Tangentialvektoren lässt sich wieder der Normalenvektor Kurven und Flächen im Raum

konstruieren, aber auch das Flächenelement Kurven und Flächen im Raum berechnen.

 

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