Mathematische Methoden und
Computereinsatz, linearer Raum, ein Raum über einem skalaren Körper
, auch
-Vektorraum
genannt, der durch die Verknüpfungen
(Vektoraddition)
und
(Multiplikation mit Skalaren)
definiert ist, wobei diese Verknüpfungen den
folgenden Vektorraumaxiomen genügen müssen:
(V1): ist bezüglich der Addition eine abelsche
Gruppe mit dem Nullvektor als neutralem Element;
(V2):
Im Falle und
und den aus
-Tupeln
gebildeten Vektoren
ist die Addition als komponentenweise Addition
definiert, d.h.
und die skalare Multiplikation ist durch die Vorschrift
gegeben. Ein weiteres, recht allgemeines Beispiel eines
Vektorraums ist die Menge aller Abbildungen
einer Menge
in einen Körper
mit der punktweisen Addition und skalaren
Multiplikation, d.h.
und
.
Konkrete Beispiele für Funktionenvektorräume sind die Menge aller stetigen oder
-fach
differenzierbaren, reellwertigen Funktionen, die Menge aller Funktionen, die
einem bestimmten Integrierbarkeitskriterium genügen, oder die Menge aller
komplexwertigen holomorphen Funktionen.
Der Betrag oder die Länge eines Vektors kann mit Hilfe der Norm
gemessen werden. Häufig sind Vektorräume mit weiteren Strukturen versehen;
durch die Existenz der Norm wird ein Vektroraum zu einem normierten Vektorraum.
Ist in einem reellen (komplexen) Vektorraum ein Skalarprodukt definiert, so nennt man
auch euklidischen (unitären) Vektorraum.
Jeder Vektorraum besitzt eine Basis , d.h.
eine Menge linear unabhängiger Vektoren
, deren
(die Menge aller Linearkombinationen der
Vektoren in
) den
Vektorraum aufspannen bzw. erzeugen; bezüglich einer gegebenen Basis besitzt
ein beliebiger Vektor
die Darstellung
. Ein Mass
für die Grösse eines Vektorraums
ist durch seine Dimension
gegeben. Besitzt
eine Basis endlich vieler Vektoren, so ist
durch die Anzahl der Basisvektoren gegeben;
andernfalls setzt man
und spricht von einem unendlich dimensionalen
Vektorraum. Beispiele: 1) Der Vektorraum
besitzt z.B. die
Basisvektoren
mit
, wobei
an der
-ten
Stelle des Vektors eine 1 steht; es ist
, und die
Basisvektoren
sind paarweise orthogonal zueinander. 2) Der
Vektorraum
aller reellwertigen Polynome besitzt eine
Basis, die aus allen Monomen
,
besteht; hier gilt
.
Ähnlich wie sich bei Gruppen Untergruppen bilden lassen, können bei Vektorräumen Untervektorräume konstruiert werden, die gegenüber der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen sind und den Nullvektor enthalten. Als Beispiel sei der Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen genannt; ein Untervektorraum ist dann z.B. die Menge aller Lösungen einer gegebenen homogenen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung.
Die Vereinigung zweier Untervektorräume
und
eines Vektorraums
ist in der Regel kein Untervektorraum.
Nützlich ist jedoch das Konzept der Summe
. Sind
und
Untervektorräume eines endlich-dimensionalen
Vektorraums
, so gilt
. Gilt
dabei
, so
nennt man
auch direkte Summe der Untervektorräume
und
. Zu
jedem
existiert in diesem Fall die eindeutige
Zerlegung
mit
und
. Ein
Spezialfall direkter Summen ist die Zerlegung eines Vektorraums
in eine direkte Summe paarweise orthogonaler
Unterräume
, wobei
für alle Vektoren
und
gilt:
und damit auch
.
Der Vektorraum aller linearen Abbildungen eines Vektorraums
in den Körper
heisst der zu
duale Vektorraum, oder kurz Dualraum, und wird
mit
bezeichnet; die linearen Abbildungen werden in
diesem Zusammenhang meist Linearform oder lineares Funktional genannt. In jedem
endlich-dimensionalen Vektorraum
über
gilt
, und es
gibt zu jedem Vektor
,
eine Linearform
. Diese
kann mit Hilfe des Skalarproduktes gemäss
konstruiert werden. Die Vektoren
werden daher auch duale Vektoren genannt. Die
Menge der Abbildungen, die den Linearformen einen Skalar zuordnen, bildet den
Bidualraum
, und
auch hier gilt
.
Das freie Technik-Lexikon. Fundierte Informationen zu allen Fachgebieten der Ingenieurwissenschaften, für Wissenschaftler, Studenten, Praktiker & alle Interessierten. Professionell dargeboten und kostenlos zugängig.
TechniklexikonModernes Studium der Physik sollte allen zugängig gemacht werden.