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Vektorraum

Mathematische Methoden und Computereinsatz, linearer Raum, ein Raum Vektorraum über einem skalaren Körper Vektorraum, auch Vektorraum-Vektorraum genannt, der durch die Verknüpfungen Vektorraum (Vektoraddition) Vektorraum und Vektorraum (Multiplikation mit Skalaren) Vektorraum definiert ist, wobei diese Verknüpfungen den folgenden Vektorraumaxiomen genügen müssen:

(V1): Vektorraum ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe mit dem Nullvektor als neutralem Element;

(V2):

Vektorraum

Im Falle Vektorraum und Vektorraum und den aus Vektorraum-Tupeln Vektorraum gebildeten Vektoren Vektorraum ist die Addition als komponentenweise Addition definiert, d.h.

Vektorraum

und die skalare Multiplikation ist durch die Vorschrift

Vektorraum

gegeben. Ein weiteres, recht allgemeines Beispiel eines Vektorraums ist die Menge Vektorraum aller Abbildungen Vektorraum einer Menge Vektorraum in einen Körper Vektorraum mit der punktweisen Addition und skalaren Multiplikation, d.h. Vektorraum und Vektorraum. Konkrete Beispiele für Funktionenvektorräume sind die Menge aller stetigen oder Vektorraum-fach differenzierbaren, reellwertigen Funktionen, die Menge aller Funktionen, die einem bestimmten Integrierbarkeitskriterium genügen, oder die Menge aller komplexwertigen holomorphen Funktionen.

Der Betrag oder die Länge eines Vektors kann mit Hilfe der Norm gemessen werden. Häufig sind Vektorräume mit weiteren Strukturen versehen; durch die Existenz der Norm wird ein Vektroraum zu einem normierten Vektorraum. Ist in einem reellen (komplexen) Vektorraum Vektorraum ein Skalarprodukt definiert, so nennt man Vektorraum auch euklidischen (unitären) Vektorraum.

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis  Vektorraum, d.h. eine Menge linear unabhängiger Vektoren Vektorraum, deren Vektorraum (die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren in Vektorraum) den Vektorraum aufspannen bzw. erzeugen; bezüglich einer gegebenen Basis besitzt ein beliebiger Vektor Vektorraum die Darstellung Vektorraum. Ein Mass für die Grösse eines Vektorraums Vektorraum ist durch seine Dimension Vektorraum gegeben. Besitzt Vektorraum eine Basis endlich vieler Vektoren, so ist Vektorraum durch die Anzahl der Basisvektoren gegeben; andernfalls setzt man Vektorraum und spricht von einem unendlich dimensionalen Vektorraum. Beispiele: 1) Der Vektorraum Vektorraum besitzt z.B. die Vektorraum Basisvektoren Vektorraum mit Vektorraum, wobei an der Vektorraum-ten Stelle des Vektors eine 1 steht; es ist Vektorraum, und die Basisvektoren Vektorraum sind paarweise orthogonal zueinander. 2) Der Vektorraum Vektorraum aller reellwertigen Polynome besitzt eine Basis, die aus allen Monomen Vektorraum, Vektorraum besteht; hier gilt Vektorraum.

Ähnlich wie sich bei Gruppen Untergruppen bilden lassen, können bei Vektorräumen Untervektorräume konstruiert werden, die gegenüber der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen sind und den Nullvektor enthalten. Als Beispiel sei der Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen genannt; ein Untervektorraum ist dann z.B. die Menge aller Lösungen einer gegebenen homogenen gewöhnlichen linearen Differentialgleichung.

Die Vereinigung Vektorraum zweier Untervektorräume Vektorraum und Vektorraum eines Vektorraums Vektorraum ist in der Regel kein Untervektorraum. Nützlich ist jedoch das Konzept der Summe Vektorraum. Sind Vektorraum und Vektorraum Untervektorräume eines endlich-dimensionalen Vektorraums Vektorraum, so gilt Vektorraum. Gilt dabei Vektorraum, so nennt man Vektorraum auch direkte Summe der Untervektorräume Vektorraum und Vektorraum. Zu jedem Vektorraum existiert in diesem Fall die eindeutige Zerlegung Vektorraum mit Vektorraum und Vektorraum. Ein Spezialfall direkter Summen ist die Zerlegung eines Vektorraums Vektorraum in eine direkte Summe paarweise orthogonaler Unterräume Vektorraum, wobei für alle Vektoren Vektorraum und Vektorraum gilt: Vektorraum und damit auch Vektorraum.

Der Vektorraum aller linearen Abbildungen Vektorraum eines Vektorraums Vektorraum in den Körper Vektorraum heisst der zu Vektorraum duale Vektorraum, oder kurz Dualraum, und wird mit Vektorraum bezeichnet; die linearen Abbildungen werden in diesem Zusammenhang meist Linearform oder lineares Funktional genannt. In jedem endlich-dimensionalen Vektorraum Vektorraum über Vektorraum gilt Vektorraum, und es gibt zu jedem Vektor Vektorraum, Vektorraum eine Linearform Vektorraum. Diese kann mit Hilfe des Skalarproduktes gemäss Vektorraum konstruiert werden. Die Vektoren Vektorraum werden daher auch duale Vektoren genannt. Die Menge der Abbildungen, die den Linearformen einen Skalar zuordnen, bildet den Bidualraum Vektorraum, und auch hier gilt Vektorraum.

 

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