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Lagrange-Multiplikator

duale Variable, Schattenpreis, Begriff aus der mathematischen Optimierung. Ursprünglich wurde die Theorie der Lagrange-Multiplikatoren für gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme der mathematischen Physik entwickelt. Im Jahre 1951 erweiterten Kuhn and Tucker diese Theorie und ermöglichten die Berücksichtigung von Ungleichungen. Ein nichtlineares Optimierungsproblem in n Variablen, mit n2 Gleichungs- und n3 Ungleichungsbedingungen, ist gegeben als

Lagrange-Multiplikator

Lagrange-Multiplikator

Lagrange-Multiplikator

Die zur Abkürzung verwendete Vektorungleichung Lagrange-Multiplikator repräsentiert die n3 Ungleichungen Lagrange-Multiplikator, Lagrange-Multiplikator. Die Theorie der Lagrange-Multiplikatoren beruht auf der Lagrange-Funktion

Lagrange-Multiplikator

die die Zielfunktion Lagrange-Multiplikator mit den Nebenbedingungen Lagrange-Multiplikator und Lagrange-Multiplikator verknüpft. Die Variablen Lagrange-Multiplikator und Lagrange-Multiplikator heissen Lagrange-Multiplikatoren und sind zusätzliche Unbekannte des Problems. Seien Lagrange-Multiplikator and Lagrange-Multiplikator die Jacobi-Matrizen zu Lagrange-Multiplikatorund Lagrange-Multiplikator.

Die notwendigen Bedingungen an die (lokal) optimalen Lösungen des Optimierungsproblems sind durch den folgenden Satz charakterisiert: Ist Lagrange-Multiplikator eine Lösung des Problems und sind die Funktionen Lagrange-Multiplikator, Lagrange-Multiplikator und Lagrange-Multiplikator stetig-differenzierbar, dann existieren Vektoren Lagrange-Multiplikator und Lagrange-Multiplikator derart, dass Lagrange-Multiplikator, Lagrange-Multiplikator, und Lagrange-Multiplikator die Bedingungen erfüllen:

Lagrange-Multiplikator

Lagrange-Multiplikator

Lagrange-Multiplikator

 Lagrange-Multiplikator

Lagrange-Multiplikator 

Die letzte Bedingung (bei Abwesenheit von Ungleichungsbedingungen und nur einer Gleichungsnebenbedingung) lässt sich anschaulich formulieren als Parallelität zwischen dem Gradienten der Zielfunktion und der Ableitung der Nebenbedingung. Die Lagrange-Multiplikatoren lassen sich damit auch interpretieren als Ableitung der Zielfunktion nach den Nebenbedingungen.

 

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