Techniklexikon

Lagrange-Multiplikator

duale Variable, Schattenpreis, Begriff aus der mathematischen Optimierung. Ursprünglich wurde die Theorie der Lagrange-Multiplikatoren für gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme der mathematischen Physik entwickelt. Im Jahre 1951 erweiterten Kuhn and Tucker diese Theorie und ermöglichten die Berücksichtigung von Ungleichungen. Ein nichtlineares Optimierungsproblem in n Variablen, mit n₂ Gleichungs- und n₃ Ungleichungsbedingungen, ist gegeben als

Die zur Abkürzung verwendete Vektorungleichung  repräsentiert die n₃ Ungleichungen , . Die Theorie der Lagrange-Multiplikatoren beruht auf der Lagrange-Funktion

die die Zielfunktion  mit den Nebenbedingungen  und  verknüpft. Die Variablen  und  heissen Lagrange-Multiplikatoren und sind zusätzliche Unbekannte des Problems. Seien  and  die Jacobi-Matrizen zu und .

Die notwendigen Bedingungen an die (lokal) optimalen Lösungen des Optimierungsproblems sind durch den folgenden Satz charakterisiert: Ist  eine Lösung des Problems und sind die Funktionen ,  und  stetig-differenzierbar, dann existieren Vektoren  und  derart, dass , , und  die Bedingungen erfüllen:

 

 

Die letzte Bedingung (bei Abwesenheit von Ungleichungsbedingungen und nur einer Gleichungsnebenbedingung) lässt sich anschaulich formulieren als Parallelität zwischen dem Gradienten der Zielfunktion und der Ableitung der Nebenbedingung. Die Lagrange-Multiplikatoren lassen sich damit auch interpretieren als Ableitung der Zielfunktion nach den Nebenbedingungen.