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Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung, Tieftemperaturphysik und -technik

Dieses Essay befasst sich mit einer einheitlichen theoretischen Betrachtung der Supraleitung in Metallen und der Suprafluidität in elektrisch neutralen Fermisystemen. Es soll aufgezeigt werden, warum dieses faszinierende Phänomen auch heute noch – fast ein Jahrhundert nach seiner experimentellen Entdeckung und fast ein halbes Jahrhundert nach seiner ersten theoretischen Deutung – Gegenstand intensiver Forschung ist. Im ersten Abschnitt wird das völlig unterschiedliche Verhalten des Normalzustands dieser Systeme mit dem des Suprazustands kontrastiert und es werden einige wichtige Aspekte der historischen Entwicklung dieses Forschungsgebietes nachgezeichnet. Dann wird eine allgemeine Klassifizierung supraleitender und suprafluider Fermisysteme nach der Symmetrie ihres Grundzustands durchgeführt. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit den Gleichgewichtseigenschaften dieser Systeme bei endlicher Temperatur. Schliesslich wird die Frage aufgeworfen, wie die Supraleitung und die Suprafluidität auf äussere Störungen reagiert und was man daraus über die innere Struktur und die Symmetrie der supraleitenden und superfluiden Phase lernen kann. Suprafluidität in Bosonen-Systemen wird an anderer Stelle behandelt (Suprafluidität).

 

1 Normal- und Suprazustand

In normalen Metallen beruht der elektrische Widerstand auf der Streuung der Leitungselektronen an thermischen Gitterschwingungen (Phononen) und an Gitterfehlern (Verunreinigungen, Fehlstellen, Versetzungen, Korngrenzen, etc.), die durch eine Streurate Supraleitung und Suprafluidität beschrieben wird. Die elektrische Stromdichte Supraleitung und Suprafluidität relaxiert gemäss

Supraleitung und Suprafluidität

Hier bezeichnen Supraleitung und Suprafluidität die Teilchendichte, Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität die elektronische Ladung und Masse. Die treibende Kraft Supraleitung und Suprafluidität ist die elektrische Feldstärke Supraleitung und Suprafluidität, die sich wie üblich aus den elektromagnetischen Potentialen Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität ableiten lässt. Die elektrische Leitfähigkeit Supraleitung und Suprafluidität charakterisiert den Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld:

Supraleitung und Suprafluidität

Dieser Zusammenhang ist als Drude-Gesetz (Drude-Lorenz-Theorie) bzw. als Ohmsches Gesetz bekannt. Ihr Kehrwert, der elektrische Widerstand Supraleitung und Suprafluidität, ist proportional zur Impulsrelaxationsrate Supraleitung und Suprafluidität. Im Grenzfall Supraleitung und Suprafluidität verschwinden die Phononen, und der ausschliesslich durch Defekte verursachte (Rest-) Widerstand von sehr sauberen Metallen kann sehr gering sein.

Im Jahre 1911 studierte Heike Kamerlingh Onnes in Leiden diese Effekte an Quecksilber im Temperaturbereich zwischen 1 und 5 K. Er kam zu dem überraschenden Resultat, dass der elektrische Widerstand Supraleitung und Suprafluidität, anstatt stetig auf den Restwiderstandswert abzusinken, bei einer kritischen Temperatur Tc = 4,2 K verschwand. Dieses Phänomen (Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität) wird seitdem Supraleitung genannt. Die wohl beeindruckendste Konsequenz des Supraleitungsphänomens demonstrierte Kamerlingh Onnes, indem er einen Strom in einem supraleitenden Bleiring bei 4 K in Gang setzte, die Stromquelle abschaltete und einen Dauerstrom (Dauerstrom, supraleitender) über ein ganzes Jahr ohne messbare Reduktion beobachten konnte. Kamerlingh Onnes' Entdeckung wurde im Jahre 1913 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

Dass das Phänomen der Supraleitung noch mehr beinhaltet als das blosse Verschwinden des elektrischen Widerstandes unterhalb einer Sprungtemperatur Supraleitung und Suprafluidität, zeigten Walther Meissner und Robert Ochsenfeld im Jahre 1933. Sie entdeckten, dass Supraleiter Magnetfelder reversibel aus ihrem Inneren verdrängen oder abschirmen, und zwar unabhängig davon, ob man den Supraleiter im Magnetfeld abkühlt (Verdrängungseffekt) oder erst unterhalb der Sprungtemperatur Supraleitung und Suprafluidität ein Magnetfeld anlegt (Abschirmeffekt). Der Supraleiter verhält sich somit wie ein idealer Diamagnet. Diese Feldverdrängungseigenschaft der Supraleiter ist nach ihren Entdeckern Meissner-Ochsenfeld-Effekt benannt geworden.

Parallel zu dieser Entdeckung entwickelten die Brüder Fritz und Heinz London, aber auch Max von Laue, die phänomenologische sog. London-Laue-Theorie der Supraleitung (1935-1938), in der eine makroskopische Anzahl supraleitender Teilchen der Ladung Supraleitung und Suprafluidität und der Masse Supraleitung und Suprafluidität, die sich in den elektromagnetischen Potentialen Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität bewegen, durch eine kollektive quantenmechanische Wellenfunktion Supraleitung und Suprafluidität mit Amplitude Supraleitung und Suprafluidität und Phase Supraleitung und Suprafluidität beschrieben wird. Im Gegensatz zur Interpretation der gewöhnlichen Quantenmechanik von Supraleitung und Suprafluidität als Wahrscheinlichkeitsamplitude, ein Teilchen am Ort Supraleitung und Suprafluidität zur Zeit Supraleitung und Suprafluidität vorzufinden, wurde Supraleitung und Suprafluidität mit der makroskopischen Teilchenzahldichte der supraleitenden Ladungsträger verknüpft. Ansonsten konnten alle aus der Quantenmechanik bekannten Resultate übernommen werden, insbesondere die Tatsache, dass der Schrödinger-Gleichung für Supraleitung und Suprafluidität die Kontinuitätsgleichung für die Kondensat-Dichte Supraleitung und Suprafluidität äquivalent ist, in der die Ladungssuprastromdichte Supraleitung und Suprafluidität die Form

Supraleitung und Suprafluidität

hat. Die einzelnen Ladungsträger verlieren somit ihre Individualität völlig, denn sie gehorchen kollektiv den Gesetzen der Quantenmechanik. Obwohl diese Theorie nichts über den Mechanismus, der zur Supraleitung führt, aussagt, betrachtet sie die Supraleitung erstmals als makroskopisches Quantenphänomen und kann Dauerströme, Magnetfeldabschirmung, charakterisiert durch die sog. Londonsche Magnetfeldeindringtiefe (Londonsche Theorie der Supraleitung)

Supraleitung und Suprafluidität

sowie die sehr viel später entdeckte Flussquantisierung durch einen Supraleiter vorhersagen. Wegen der Eindeutigkeitsforderung Supraleitung und Suprafluidität, an Supraleitung und Suprafluidität ergibt sich für das (Fluss-) Integral über die Querschittsfläche Supraleitung und Suprafluidität eines supraleitenden Hohlzylinders die Bedingung

Supraleitung und Suprafluidität

in der Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität das Quantum des magnetischen Flusses darstellt. Im Jahre 1961 gelang Robert Doll und Martin Näbauer (unabhängig davon aber auch Deaver und Fairbanks) schliesslich der experimentelle Beweis dafür, dass die Grösse Supraleitung und Suprafluidität quantisiert ist. Das experimentell bestimmte Flussquantum liess den Schluss zu, dass beim Ladungstransport in Supraleitern nicht, wie in der London-Theorie angenommen, einzelne (Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität), sondern Paare von Elektronen mit der doppelten Elementarladung (Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität beteiligt sind.

Wie die Metallelektronen zeigen auch elektrisch neutrale Flüssigkeiten in ihrem Normalzustand das Phänomen eines Strömungswiderstands. Die Massenstromdichte Supraleitung und Suprafluidität genügt der Relaxationsgleichung

Supraleitung und Suprafluidität

in der die treibende Kraft Supraleitung und Suprafluidität in der Regel ein Druckgradient ist. Im Gegensatz zur Relaxationsrate des elektrischen Stroms gilt Supraleitung und Suprafluidität, da weder Phononen noch Fehlstellen existieren und Zweiteilchenstösse wegen des Fehlens von Umklappprozessen nicht zur Impulsrelaxation führen. Die Relaxation ist deshalb diffusiv und durch die Scherviskosität Supraleitung und Suprafluidität (Viskosität) bestimmt. Diese vermittelt auch den Zusammenhang zwischen dem querschnittsgemittelten Massenstrom Supraleitung und Suprafluidität der Flüssigkeit und dem von aussen angelegten Druckgefälle, der als Hagen-Poiseuillesches Gesetz bekannt ist. Für Strömung zwischen parallelen Platten (Abstand Supraleitung und Suprafluidität) gilt

Supraleitung und Suprafluidität

Der Strömungswiderstand Supraleitung und Suprafluidität ist somit proportional zur Scherviskosität der Flüssigkeit. Seine Beobachtbarkeit zu tieferen Temperaturen hin wird verdeckt durch die in fast allen Fällen eintretende Verfestigung dieser Systeme. Nur Flüssigkeiten, die aus besonders leichten Atomen (wie zum Beispiel die Isotope des Heliums 4He und 3He) bestehen, bleiben bis zum absoluten Temperaturnullpunkt bei Atmosphärendruck flüssig. Man nennt diese Systeme Quantenflüssigkeiten, da ihr flüssiger Zustand durch die quantenmechanischen Nullpunktsbewegungen hervorgerufen wird.

Im Jahre 1971 entdeckten David Lee, Douglas Osheroff und Robert Richardson bei einer Sprungtemperatur Supraleitung und Suprafluidität von etwa zwei Tausendstel K den Übergang von flüssigem 3He in zwei superfluide Phasen. Obwohl im Gegensatz zur Impulsrelaxation die Scherviskosität scheinbar verschwindet, wies ihr Verhalten sehr viele Analogien zur Supraleitfähigkeit der »Elektronenflüssigkeit« in Metallen auf, zeigte zusätzlich aber eine Vielzahl neuer und exotischer Eigenschaften. Diese Entdeckung löste eine wahre Flut von experimentellen und theoretischen Veröffentlichungen aus, die über mehr als zwei Dekaden anhielt und schliesslich im Jahr 1996 mit dem Physik-Nobelpreis für die drei Entdecker ihre Würdigung fand.

Auch für neutrale suprafluide Fermi-Systeme mit Teilchen der Masse Supraleitung und Suprafluidität und der superfluiden Dichte Supraleitung und Suprafluidität lässt sich die London-Theorie anwenden. Wegen der fehlenden Ladung ist der supraleitende Massenstrom jetzt allein mit der räumlichen Änderung der Phase der Kondensat-Wellenfunktion verknüpft:

Supraleitung und Suprafluidität

Die wesentliche Gemeinsamkeit der Phänomene Supraleitung und Suprafluidität lässt sich nur mit den Denkmethoden der Quantenmechanik verstehen. Sie besteht darin, dass es sich bei Elektronen und 3He-Atomen, welche Vielteilchensysteme von typischerweise 1023 Teilchen bilden, um Fermionen handelt, d.h. Teilchen mit einem halbzahligen Spin. Fermionen gehorchen dem Pauli-Prinzip, welches besagt, dass nur ein Fermion einen gegebenen Quantenzustand Supraleitung und Suprafluidität, charakterisiert durch den Impuls Supraleitung und Suprafluidität und die Spinprojektion Supraleitung und Suprafluidität, besetzen kann. (Bei flüssigem 4He handelt es sich um ein Bosonen-System.)

Ein moderner Zugang zu den Phänomenen Supraleitung (geladene Fermionen, Elektronen) und Suprafluidität (neutrale Fermionen) sollte diese auf ein und derselben Stufe behandeln. Ein erster Schritt in diese Richtung liess sehr lange, nämlich bis zum Jahre 1957, auf sich warten. In diesem Jahr veröffentlichten die Theoretiker John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer (BCS) ihre mikroskopische Theorie der Supraleitung, nicht ahnend, dass sich diese Theorie, nach einigen nicht unwesentlichen Modifikationen, die insbesondere dem Theoretiker Anthony J. Leggett zu verdanken sind, auch zur Beschreibung der Suprafluidität von flüssigem 3He eignen würde. Wegen ihrer universellen Anwendbarkeit wurde die BCS-Theorie im Jahre 1972 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

 

2 Klassifizierung paarkorrelierter Fermi-Systeme

Fermi-Systeme lassen sich durch ihre Teilchendichte Supraleitung und Suprafluidität, mit Supraleitung und Suprafluidität der Fermi-Energie, das Energiespektrum Supraleitung und Suprafluidität, mit Supraleitung und Suprafluidität dem chemischen Potential (Supraleitung und Suprafluidität), die Gruppengeschwindigkeit Supraleitung und Suprafluidität und die Zustandsdichte an der Fermi-Kante Supraleitung und Suprafluidität charakterisieren. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht wird die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit dieser Zustände durch die Impulsverteilung

Supraleitung und Suprafluidität

beschrieben. Hier bedeuten Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Fermion im Quantenzustand Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität der statistische Mittelwert. Im Normalzustand des Fermi-Systems ist Supraleitung und Suprafluidität die Fermi-Dirac-Verteilung (Fermi-Dirac-Statistik).

Das BCS-Modell postuliert, dass es bei tiefen Temperaturen energetisch günstiger ist, wenn sich ein temperaturabhängiger Teil der Fermionen zu sog. Cooper-Paaren formiert. Der geniale Aspekt an der Paarungshypothese ist die Einsicht, dass die Paarung nicht im Orts- sondern im Impulsraum stattfindet. So ist die zentrale Annahme der BCS-Theorie die spontane Paarformation im Supraleitung und Suprafluidität-Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischen Gleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude

Supraleitung und Suprafluidität

Hier ist Supraleitung und Suprafluidität der Relativimpuls des Paares. Das Pauli-Prinzip erzwingt die totale Antisymmetrie von Supraleitung und Suprafluidität beim Vertauschen der Spins Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität und der Impulse Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität:

Supraleitung und Suprafluidität

Die Spinabhängigkeit der Paaramplitude wird durch die Möglichkeiten, zwei Spins vom Betrag Supraleitung und Suprafluidität und mit den Projektionen Supraleitung und Suprafluidität zum Gesamtspin Supraleitung und Suprafluidität und der Gesamtprojektion Supraleitung und Suprafluidität zu koppeln, festgelegt. Der Clebsch-Gordon-Koeffizient für diese Kopplung lautet

Supraleitung und Suprafluidität

und lässt nur die beiden Fälle Supraleitung und Suprafluidität (Singulett-Paarung) und Supraleitung und Suprafluidität (Triplett-Paarung) zu. Für Singulett-Paarung gilt

Supraleitung und Suprafluidität

wobei Supraleitung und Suprafluidität. Hier ist Supraleitung und Suprafluidität eine der Pauli-Matrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix Supraleitung und Suprafluidität ein vollständiges Basissystem von Supraleitung und Suprafluidität-Matrizen bilden.

Wegen Gl. (7) muss Supraleitung und Suprafluidität für Singulett-Paarung gerade Parität bezüglich Supraleitung und Suprafluidität haben, Supraleitung und Suprafluidität. Die Supraleitung und Suprafluidität-Abhängigkeit von Supraleitung und Suprafluidität lässt sich mit einer orbitalen Quantenzahl Supraleitung und Suprafluidität klassifizieren, und man spricht von s-Wellen-Paarung (Supraleitung und Suprafluidität), d-Wellen-Paarung (Supraleitung und Suprafluidität) usw. Im Fall der Spin-Triplett-Paarung hat man

Supraleitung und Suprafluidität

Die Triplett-Komponenten Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, und Supraleitung und Suprafluidität des Paaramplituden-Vektors Supraleitung und Suprafluidität sind den magnetischen Quantenzahlen Supraleitung und Suprafluidität zugeordnet und haben wegen (7) ungerade Parität bezüglich Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität. Im Fall der Triplett-Paarung ist die orbitale Quantenzahl Supraleitung und Suprafluidität ungerade und man spricht von p-Wellen-Paarung (Supraleitung und Suprafluidität), f-Wellen-Paarung (Supraleitung und Suprafluidität) u.s.w. Man erkennt, dass mit dem supraleitenden Phasenübergang eine spontan gebrochene Symmetrie verknüpft ist, nämlich die bezüglich der lokalen Eichtransformation Supraleitung und Suprafluidität, bei der die Paaramplitude Supraleitung und Suprafluidität in Supraleitung und Suprafluidität übergeht (spontane Symmetriebrechung). Die Formation von Cooper-Paaren wird durch eine in der Nähe der Fermi-Kante anziehende Wechselwirkung Supraleitung und Suprafluidität vermittelt, welche die mittleren Paaramplituden Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität mit einer neuen Energieskala, dem mittleren sog. Paarpotential verknüpft:

Supraleitung und Suprafluidität

Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, oder äquivalent dazu, die Paarpotentiale Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität, werden auch als Ordnungsparameter (Phasenübergänge) der supraleitenden oder superfluiden Phase des paarkorrelierten Fermi-Systems bezeichnet. Die Cooper-Paare, deren Gesamtheit man auch als Kondensat bezeichnet, bilden nun den neuartigen kollektiven Zustand makroskopischer Quantenkohärenz, der bereits in der London-Theorie antizipiert worden ist. Durch die Paarungshypothese liefert die BCS-Leggett-Theorie im Gegensatz zur London-Theorie nicht nur den korrekten Wert für das im Doll-Näbauer-Experiment bestimmte Flussquantum, sondern erlaubt auch eine korrekte Beschreibung der thermodynamischen, elektromagnetischen, hydrodynamischen und spindynamischen Eigenschaften supraleitender und superfluider Fermi-Systeme.

Im folgenden sollen nun einige der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermi-Systeme durch die Form ihrer Paarpotentiale charakterisiert werden. Hierzu zerlegen wir

Supraleitung und Suprafluidität

in den temperaturabhängigen Maximalwert Supraleitung und Suprafluidität und einen Supraleitung und Suprafluidität-abhängigen orbitalen Anteil, der die Möglichkeit einer Anisotropie auf der Fermi-Fläche enthält. Man kann in unterschiedlichen Fermi-Systemen die Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermi-Fläche bzw. der Bandstruktur vergleichen. Sind diese Symmetrien gleich (oder ist nur die Eichsymmetrie spontan gebrochen), so wird die Paarung als konventionell (k) bezeichnet. Ist die Symmetrie des Paarpotentials geringer als die der Fermi-Fläche (oder gibt es neben der Eichsymmetrie noch zusätzliche spontan gebrochene Symmetrien), so nennt man die Paarung unkonventionell (u).

In die siebziger und achtziger Jahre fiel die Entdeckung neuer, exotischer Supraleiter. Dazu gehören organische Supraleiter und Supraleiter mit sog. schweren Fermionen. Im Jahre 1986 wurden Materialien auf Kupferoxidbasis (Kuprate) mit Sprungtemperaturen bis zu 153 K (sog. Hochtemperatur-Supraleiter) durch Karl Alex Müller und Georg Bednorz entdeckt, die dafür im Jahr darauf mit dem Nobelpreis für Physik geehrt wurden. Man ist heute davon überzeugt, dass die superfluiden Phasen des 3He, u.a. der Schwerfermionsupraleiter UPt3, sowie alle lochdotierten (ld) Kuprat-Supraleiter einen unkonventionellen Ordnungsparameter haben. Unerwarteterweise zeigen die elektrondotierten (ed) Kuprate scheinbar konventionelles Verhalten. Eine spezielle Konsequenz dieser Unkonventionalität ist die Tatsache, dass der Ordnungsparameter Nulldurchgänge oder Noden haben kann, d.h. er kann auf der Fermi-Fläche Punkt- (P) oder Linien- (L) förmige Nullstellen haben. Dieser Sachverhalt ist in [40]Abb. 1 veranschaulicht. In Tab. 1 sind die Eigenschaften einiger wichtiger supraleitender (SL) und superfluider Fermi-Systeme zusammengestellt. Die Fermi-Flächen werden der Einfachheit halber als sphärisch (D = 3) oder als zylindrisch (D = 2) angenommen. Aufgeführt sind Ordnungsparametersymmetrie, Nodenstruktur und die Dimensionalität D ihrer Fermi-Fläche.

In Tab. 1 ist Supraleitung und Suprafluidität der (Polar-) Winkel zwischen einer für den Paarzustand charakteristischen makroskopischen orbitalen Vorzugsrichtung Supraleitung und Suprafluidität und dem Einheitsvektor Supraleitung und Suprafluidität auf der Fermi-Fläche. Für den Fall der Triplett-Paarung ist Supraleitung und Suprafluidität eine makroskopische Vorzugsrichtung im Spinraum. Supraleitung und Suprafluidität ist eine Rotationsmatrix, welche im Spezialfall des pseudoisotropen Zustands die Korrelation zwischen Spin- und Bahnfreiheitsgraden der Cooper-Paare beschreibt. Der Winkel Supraleitung und Suprafluidität spielt dabei die gleiche Rolle wie der Winkel zwischen Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität und reflektiert eine von Leggett erstmals diskutierte zusätzliche spontan gebrochene Symmetrie, nämlich die relative Spin-Bahn-Symmetrie des superfluiden Fermi-Systems (und damit den unkonventionellen Charakter des Ordnungsparameters). Da es sich bei den Kupraten um Quasi-2-Supraleitung und Suprafluidität-Systeme handelt, wird die Supraleitung und Suprafluidität-Symmetrie des Paarpotentials durch den (Azimuth-) Winkel Supraleitung und Suprafluidität beschrieben.

 

3 Paarkorrelierte Fermi-Systeme im thermischen Gleichgewicht

In der BCS-Behandlung werden die Paarwechselwirkungseffekte durch einen Hamilton-Operator in Molekularfeldnäherung erfasst. Die folgende Diskussion wird nun der Übersichtlichkeit wegen auf den Fall der Singulett-Paarung beschränkt. Die Resultate lassen sich jedoch problemlos auf den Triplett-Fall verallgemeinern. Kombiniert man fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu einer zweikomponentigen Grösse, einem sog. Spinor Supraleitung und Suprafluidität, dann ist dieser Hamilton-Operator formal dem des Normalzustands äquivalent (Nambu-Formalismus),

Supraleitung und Suprafluidität

Hier ist Supraleitung und Suprafluidität jedoch eine Energiematrix

Supraleitung und Suprafluidität

in deren Diagonale die typischen Energien für teilchenartige (Supraleitung und Suprafluidität) und lochartige (Supraleitung und Suprafluidität) Anregungen stehen. Das mittlere Paarpotential bildet die Nebendiagonalelemente und führt zu einer Mischung von Teilchen- und Lochbeiträgen zur Energie. Wegen der spontanen Paarformation Supraleitung und Suprafluidität für Supraleitung und Suprafluidität spricht man im Zusammenhang mit dem Phänomen der Supraleitung und der Suprafluidität auch von nebendiagonaler langreichweitiger Ordnung.

Der Hamilton-Operator bzw. die Energiematrix werden diagonalisiert durch die Bogoljubow-Walatin-Transformation

Supraleitung und Suprafluidität

Da die neuen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wieder fermionische Anregungen beschreiben, gilt Supraleitung und Suprafluidität. Man erhält

Supraleitung und Suprafluidität

Die Bedingung Supraleitung und Suprafluidität legt die Amplituden Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität fest: Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität wobei

Supraleitung und Suprafluidität

Die physikalische Bedeutung von Supraleitung und Suprafluidität erkennt man aus der Form des transformierten Hamilton-Operators

Supraleitung und Suprafluidität

Der erste Term in (11) ist die Gesamtenergie des BCS-Grundzustands, während der zweite Term den Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoljubow-Quasiteilchen bei endlichen Temperaturen beschreibt. Supraleitung und Suprafluidität ist somit das Energiespektrum der Bogoljubow-Quasiteilchen. Das Paarpotential Supraleitung und Suprafluidität spielt damit die Rolle einer im allgemeinen anisotropen Energielücke im Spektrum der thermischen Anregungen. Die thermischen Eigenschaften der Bogoljubow-Quasiteilchen werden durch die Verteilungsfunktion

Supraleitung und Suprafluidität

und ihre Ableitung nach Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität beschrieben. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht ergibt sich die diagonale Verteilungsfunktion Supraleitung und Suprafluidität (vgl. (5)) nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation zu

Supraleitung und Suprafluidität

Es ist bemerkenswert, dass die Ableitung von Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, bei allen Temperaturen Supraleitung und Suprafluidität der Summenregel Supraleitung und Suprafluidität genügt.

Die Gleichgewichts-Paaramplitude (vgl. (7)) lautet nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation

Supraleitung und Suprafluidität

Die Ursachen und Mechanismen für die Paaranziehung Supraleitung und Suprafluidität sind unterschiedlich. Bei konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, die Phononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventioneller Supraleiter (Schwerfermion-, Hochtemperatur-Supraleiter sowie die superfluide Fermi-Flüssigkeit 3He) glaubt man heute, dass antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuationen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen. Wir müssen an dieser Stelle auf eine Diskusion der mikroskopischen Ursachen für die Paarattraktion verzichten und nehmen lediglich an, dass die Paarwechselwirkung sehr klein (Supraleitung und Suprafluidität) – wegen dieser Annahme spricht man im Zusammenhang mit Supraleitung und Suprafluidität auch vom Limes schwacher Kopplung – und in einer Energieschale der Dicke Supraleitung und Suprafluidität um die Fermi-Energie anziehend ist. Die Lösung der Energielückengleichung (8) bei endlichen Temperaturen geschieht durch Einsetzen der Paaramplitude (14) in Gl. (8) und liefert bei der Sprungtemperatur und bei Supraleitung und Suprafluidität die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS-Mühlschlegel-Parameter, nämlich den für die Molekularfeldnäherung typischen Sprung in der spezifischen Wärme bei Supraleitung und Suprafluidität und die Energielücke bei Supraleitung und Suprafluidität:

Supraleitung und Suprafluidität

Hier ist Supraleitung und Suprafluidität die Eulersche Konstante, Supraleitung und Suprafluidität die Riemannsche Supraleitung und Suprafluidität-Funktion; Supraleitung und Suprafluidität bedeutet eine Mittelung über die Fermi-Fläche und Supraleitung und Suprafluidität ist die Wärmekapazität des normalen Fermi-Systems. In Tabelle 2 findet man eine Zusammenstellung von BCS-Mühlschlegel-Parametern für einige repräsentative paarkorrelierte Fermi-Systeme. Für Temperaturen Supraleitung und Suprafluidität lässt sich die maximale Energielücke wie folgt interpolieren:

Supraleitung und Suprafluidität

 

4 Paarkorrelierte Fermi-Systeme in äusseren Feldern

Schliesslich untersuchen wir, wie supraleitende und superfluide Fermi-Systeme auf die Gegenwart räumlich und zeitlich schwach veränderlicher äusserer Störungen wie ein Vektorpotential Supraleitung und Suprafluidität, ein Magnetfeld Supraleitung und Suprafluidität oder eine lokale Temperaturänderung Supraleitung und Suprafluidität bei beliebigen Temperaturen Supraleitung und Suprafluidität reagieren. Eine solche Situation lässt sich besonders einfach durch die Annahme des sog. lokalen Gleichgewichts beschreiben. Das bedeutet, dass die Impulsverteilung Supraleitung und Suprafluidität der Bogoljubow-Quasiteilchen auch in Gegenwart der Störungen noch eine Fermi-Funktion Supraleitung und Suprafluidität ist,

Supraleitung und Suprafluidität

in der aber das Argument von Supraleitung und Suprafluidität nach Supraleitung und Suprafluidität verschoben ist, wobei Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität das gyromagnetische Verhältnis der Fermionen ist. Die lokale lineare Antwort (linear response) des gesamten Quasiteilchensystems führt bei einer Temperaturänderung Supraleitung und Suprafluidität auf die Entropieänderung Supraleitung und Suprafluidität, beim Anlegen eines Magnetfeldes Supraleitung und Suprafluidität auf die Spinmagnetisierung Supraleitung und Suprafluidität und bei Anwesenheit des Vektorpotentials Supraleitung und Suprafluidität auf den elektronischen Quasiteilchenstrom Supraleitung und Suprafluidität. Die entsprechenden sog. Responsefunktionen sind die Wärmekapazität Supraleitung und Suprafluidität, die Paulische Spinsuszeptibilität Supraleitung und Suprafluidität und der Stromresponse-Tensor Supraleitung und Suprafluidität. Im folgenden fassen wir die Resultate für diese Grössen bei beliebigen Temperaturen zusammen (bei den numerischen Rechnungen wurde die Interpolationsformel (15) für Supraleitung und Suprafluidität verwendet):

 

1. Wärmekapazität der Bogoljubow-Quasiteilchen:

Supraleitung und Suprafluidität

[41]Abb. 2 zeigt die Temperaturabhängigkeit der normierten Wärmekapazität Supraleitung und Suprafluidität für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme. Die Resultate für den Supraleitung und Suprafluidität- und Supraleitung und Suprafluidität-Zustand liegen sehr nahe an der Kurve für Supraleitung und Suprafluidität-Paarung und sind daher nicht eingezeichnet. Man beachte, dass mit zunehmender Energielückenanisotropie die Diskontinuität in Supraleitung und Suprafluidität bei Supraleitung und Suprafluidität in demselben Masse abnimmt wie der Anstieg von Supraleitung und Suprafluidität bei tiefen Temperaturen zunimmt (Entropie-Summenregel).

2. Spinsuszeptibilität der Bogoljubow-Quasiteilchen: Supraleitung und Suprafluidität

Hier ist Supraleitung und Suprafluidität die Paulische Spinsuszeptibilität des Normalzustands. Die Temperaturabhängigkeit der Spinsuszeptibilität wird durch die dimensionslose sog. Yosida-Funktion Supraleitung und Suprafluidität beschrieben. [42]Abb. 3 zeigt die Temperaturabhängigkeit der normierten Spinsuszeptibilität Supraleitung und Suprafluidität für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme. Die Resultate für den Supraleitung und Suprafluidität- und Supraleitung und Suprafluidität-Zustand liegen sehr nahe an der Kurve für Supraleitung und Suprafluidität-Paarung und sind daher nicht eingezeichnet. Besonders deutlich wird der Unterschied zwischen dem thermisch aktivierten konventionellen Verhalten und dem linearen Tieftemperaturpotenzgesetz für die Energielücken mit Liniennoden. Bei der Berechnung der Spinsuszeptibilität in Systemen mit Spin-Triplett-Paarung ist zu beachten, dass sich die Supraleitung und Suprafluidität-Komponenten des Tripletts paramagnetisch verhalten, d.h. sie tragen einen konstanten (Pauli-) Beitrag zur Suszeptibilität bei. Die Supraleitung und Suprafluidität-Komponente repräsentiert den Beitrag der thermischen Anregungen und verschwindet im Limes Supraleitung und Suprafluidität. So stellt die temperaturabhängige Grösse Supraleitung und Suprafluidität im Fall von 3He-B nur den Supraleitung und Suprafluidität-Beitrag (Supraleitung und Suprafluidität) des Spin-Tripletts dar. Mit den fehlenden Supraleitung und Suprafluidität-Beiträgen (Supraleitung und Suprafluidität) lautet die gesamte Spinsuszeptibilität von 3He-B Supraleitung und Suprafluidität, wenn Wechselwirkungseffekte vernachlässigt werden. Der axiale Zustand zur Beschreibung von 3He-A besitzt im einfachsten Fall (Supraleitung und Suprafluidität) nur die paramagnetischen Supraleitung und Suprafluidität-Komponenten des Spin-Tripletts (man spricht deshalb auch von »equal spin pairing«). Daher behält die Spinsuszeptibilität bei allen Temperaturen Supraleitung und Suprafluidität ihren Normalzustands-(Pauli-)Wert. Für den Supraleitung und Suprafluidität-Zustand gilt im einfachsten Fall Supraleitung und Suprafluidität. Somit trägt nur die Supraleitung und Suprafluidität-Komponente des Tripletts zur Spinsuszeptibilität bei, Supraleitung und Suprafluidität.

 

3. Stromresponse der Bogoljubow-Quasiteilchen

Supraleitung und Suprafluidität

Die Grösse Supraleitung und Suprafluidität beschreibt den Quasiteilchenbeitrag zum gesamten elektronischen Suprastrom Supraleitung und Suprafluidität, in dem Supraleitung und Suprafluidität und Supraleitung und Suprafluidität der diamagnetische Anteil des Stroms ist. Man beachte, dass das Vektorpotential durch einen Phasengradienten ergänzt worden ist (Eichtransformation des Vektorpotentials Supraleitung und Suprafluidität), um dem Resultat für den Suprastrom eine eichinvariante Form zu geben. Die Ersetzung Supraleitung und Suprafluidität verknüpft Supraleitung und Suprafluidität mit der Variablen Supraleitung und Suprafluidität, welche die gebrochene Eichsymmetrie beschreibt. Somit sind die eichinvarianten Ausdrücke für den elektronischen Suprastrom

Supraleitung und Suprafluidität

und den superfluiden Massenstrom aus der BCS-Theorie

Supraleitung und Suprafluidität

formal identisch mit den entsprechenden Resultaten (2) und (4) der London-Theorie, mit dem einzigen Unterschied, dass man die Grösse Supraleitung und Suprafluidität im Rahmen der BCS-Theorie berechnen kann.

Für den Fall einer (uniaxialen) Anisotropie (Achse Supraleitung und Suprafluidität) der Fermi-Fläche (Supraleitung und Suprafluidität, mit Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität, Supraleitung und Suprafluidität den Kristallachsen) oder der Energielücke (Supraleitung und Suprafluidität) gilt Supraleitung und Suprafluidität. Der London-BCS-Strom, in die Maxwell-Gleichung Supraleitung und Suprafluidität eingesetzt, beschreibt die Magnetfeldabschirmung des Supraleiters, charakterisiert durch die beiden London-BCS-Eindringtiefen Supraleitung und Suprafluidität. Für isotrope Fermi-Systeme ist Supraleitung und Suprafluidität mit der superfluiden Dichte Supraleitung und Suprafluidität. In [43]Abb. 4 ist die Temperaturabhängigkeit der normierten Magnetfeldeindringtiefe Supraleitung und Suprafluidität für einige Supraleiter gezeigt. Der Unterschied zwischen dem thermisch aktivierten Tieftemperaturverhalten für isotrope Paarung und den linearen Tieftemperaturpotenzgesetzen für den Fall der Dominanz von Liniennoden ist auch in dieser Grösse deutlich. Man beachte, dass die Supraleitung und Suprafluidität- im Gegensatz zur Supraleitung und Suprafluidität-Energielücke eine starke Anisotropie in den Supraleitung und Suprafluidität-Komponenten aufweist. Dies könnte für die Identifikation der Ordnungsparametersymmetrie in UPt3 nützlich sein.

Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen für isotrope Energielücken ist thermisch aktiviert, Supraleitung und Suprafluidität und damit qualitativ unterschiedlich von dem für Energielücken mit Nodenstruktur. Im letzteren Fall existieren thermische Anregungen, in [44]Abb. 1 durch kleine Kreise symbolisiert, bei tiefen Temperaturen Supraleitung und Suprafluidität besonders in der Umgebung der Noden, was zu den in Abbildungen 2-4 sichtbaren Potenzgesetzen für die Responsefunktionen führt. In Tabelle 3 sind analytische Resultate für das Tieftemperaturverhalten der drei oben abgeleiteten Responsefunktionen für einige supraleitende und superfluide Systeme zusammengestellt.

Experimentelle Resultate sind im Fall der superfluiden Phasen des 3He, lochdotierter Kuprate und des Schwerfermionsupraleiters UPt3 im Einklang mit der Annahme unkonventioneller Cooper-Paarung. Während die Annahme von p-Wellen-Triplett-Paarung in 3He-A und -B zu einem weitgehend quantitativen Verständnis von Thermodynamik, Transport, Spindynamik und der kollektiven Moden geführt hat, lassen sich die lochdotierten Kuprate, zumindest bei optimaler Dotierung, qualitativ auf der Basis von Singulett-Supraleitung und Suprafluidität-Paarung verstehen. Eine mögliche Dotierungsabhängigkeit der Paarsymmetrie ist Gegenstand von gegenwärtigen Untersuchungen. Die Identifikation der Symmetrie des Ordnungsparameters in UPt3 ist noch nicht endgültig gesichert, jedoch sind die Supraleitung und Suprafluidität- und Supraleitung und Suprafluidität- Zustände ernstzunehmende Kandidaten.

Zusammenfassend sei festgestellt, dass man die Eigenschaften einer grossen Klasse paarkorrelierter Fermi-Systeme im Gleichgewicht und in Gegenwart äusserer Felder im Rahmen einer erweiterten BCS-Theorie schwacher Kopplung verstehen kann. Das Postulat der Paarformation stellt hierbei den entscheidenden Aspekt der BCS-Theorie dar, unter dem sich die Phänomene der Supraleitung und der Suprafluidität vereinheitlichen lassen, wenn auch der Mechanismus, der zur Bildung der Cooper-Paare führt, in den verschiedenen Klassen supraleitender Systeme unterschiedlich sein kann.

 

Literatur:

M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw Hill, 1996;

J. R. Waldram, Superconductivity of Metals and Cuprates, IOP Publishing Ltd, 1996;

J. B. Ketterson und S.N. Song, Superconductivity, Cambridge University Press, 1999;

P.G. deGennes, Superconductivity in Metals and Alloys, Perseus Books, 1999;

D. Vollhardt und P. Wölfle, The Superfluid Phases of Helium 3, Taylor & Francis, 1990;

T. Tsuneto, Superconductivity and Superfluidity, Cambridge University Press, 1998.

 

Supraleitung und Suprafluidität 1: Ordnungsparameter einiger Fermi-Systeme.

System

Paarung

 

Anisotropie

Bezeichnung

Supraleitung und Suprafluidität

Noden

Klass. SL

Supraleitung und Suprafluidität

k

Supraleitung und Suprafluidität

isotrop

3

–

3He-A

Supraleitung und Suprafluidität

u

Supraleitung und Suprafluidität

axial

3

P

3He-B

Supraleitung und Suprafluidität

u

Supraleitung und Suprafluidität

pseudoisotrop

3

–

UPt3

Supraleitung und Suprafluidität

u

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

3

P+L

 

Supraleitung und Suprafluidität

u

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

3

P+L

Kuprat-SL (l-d)

Supraleitung und Suprafluidität

u

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

2

L

Kuprat-SL (e-d)

Supraleitung und Suprafluidität

(?)

Supraleitung und Suprafluidität

(?)

2

–

Supraleitung und Suprafluidität 2: BCS-Mühlschlegel-Parameter einiger Fermisysteme.

 

isotrop

axial

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

 

1,426

1,188

0,998

0,971

0,951

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

 

1,764

2,029

2,112

2,128

2,140

Supraleitung und Suprafluidität 3: Tieftemperaturverhalten einiger paarkorrelierter Fermi-Systeme.

Grösse

isotrop

axial

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

–

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität 1: Skizze einer Node im Paarpotential. Die offenen Kreise symbolisieren thermische Anregungen (Bogoljubow-Quasiteilchen) für den Fall Supraleitung und Suprafluidität.

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität 2: Temperaturabhängigkeit der normierten Quasiteilchen-Wärmekapazität Supraleitung und Suprafluidität für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme.

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität 3: Temperaturabhängigkeit der normierten Spinsuszeptibilität Supraleitung und Suprafluidität für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme.

Supraleitung und Suprafluidität

Supraleitung und Suprafluidität 4: Temperaturabhängigkeit der normierten London-BCS-Magnetfeldeindringtiefe Supraleitung und Suprafluidität für einige typische Supraleiter.

 

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