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Chaos

Das ursprünglich altgriechische Wort Chaos (caoV) bezeichnet die gestaltlose Urmasse, aus der die Erde (altgriechisch Gaia bzw. Gaia) entstand. Heute verstehen wir unter Chaos ganz allgemein einen ungeordneten, schwer vorhersagbaren Zustand, wir sprechen z.B. vom "Verkehrschaos". Während dieses Bild das Zusammenspiel von vielen Verkehrsteilnehmern, welchen in der Chaostheorie viele Freiheitsgrade entsprechen, beschreibt, zeigte sich in jüngster Zeit, dass auch Systeme mit wenigen Freiheitsgraden, wie etwa ein periodisch getriebenes Pendel, chaotisches Zeitverhalten zeigen können. Dies bedeutet, dass seine Winkelposition als Funktion der Zeit irregulär und auf lange Sicht unvorhersagbar wird ([1]Abb. 1a). Diese Art von Chaos bezeichnet man als deterministisches Chaos.

Der Schmetterlingseffekt

Zunächst erscheint der Begriff "deterministisches Chaos" als ein Widerspruch in sich selbst, da das Unvorhersagbare nicht determiniert "sein kann". Dieser scheinbare Widerspruch erklärt sich folgendermassen: Obwohl das Zeitverhalten des Pendels durch Differentialgleichungen vollständig beschrieben wird, aus denen sich Schritt für Schritt die Trajektorie berechnen lässt, benötigt man doch zum Finden einer Lösung die Kenntnis der Anfangsbedingungen.

Systeme, die deterministisches chaotisches Verhalten zeigen, haben die Eigenschaft, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen sich im Laufe der Zeit exponentiell verstärken ([2]Abb. 1b). Der Meteorologe E.N. Lorenz hat dafür das Wort "Schmetterlingseffekt" geprägt; damit ist gemeint, dass der Flügelschlag eines Schmetterlings in Rio de Janeiro im Prinzip auch das Wetter in Berlin beeinflussen kann. Da die Anfangsbedingungen experimentell stets nur mit endlicher Genauigkeit bekannt sein können, es also immer einen "Anfangsfehler" gibt, führt die Verstärkung dieses Anfangsfehlers dazu, dass die Systeme langfristig unvorhersagbar werden. Die unabdingbare Voraussetzung für das Auftreten von deterministischem Chaos ist die Nichtlinearität des untersuchten Systems. Die linearisierte Pendelgleichung, bei der der Ausdruck sinq durch q ersetzt wird, zeigt kein chaotisches Verhalten. Mathematisch gesprochen können alle nichtlinearen dynamischen Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden, insbesondere viele biologische, meteorologische oder ökonomische Systeme, chaotisches Verhalten zeigen und damit über lange Zeiträume unvorhersagbar werden. Die Tabelle zeigt, dass diese empfindliche Abängigkeit von den Anfangsbedingung eine typische Eigenschaft zahlreicher nichtlinearer Systeme ist.

 

Chaos 1: Chaotische Syteme. Bei konservativen Systemen bleibt die Energie erhalten, bei dissipativen Systemen, wie dem getriebenen Pendel, muss die dissipierte (z.B. durch Reibung verlorene) Energie durch Antrieb wieder von aussen zugeführt werden.

Chaotische Systeme

 

 

Dissipative Systeme

Konservative Systeme

Getriebenes Pendel

Die meisten Systeme der klassischen Mechanik

Flüssigkeiten bei einsetzender Turbulenz

Planetenbewegung

Laser

Teilchenbeschleuniger

Chemische Reaktionen

 


Die Bernoulli-Abbildung

Um zu verstehen, wie deterministisches Chaos zustande kommt, betrachten wir die in [3]Abb. 2 dargestellte iterative Bernoulli-Abbildung Chaos ("t" bzw. "t + 1" sind hier nicht als Exponent, sondern als Iterations-Indizes aufzufassen), die eine chaotische Punktfolge erzeugt. Diese Abbildung hat zwei wesentliche Eigenschaften: Erstens verstärken sich kleine Fehler in den Anfangsbedingungen (s.o.). Zweitens wird die Trajektorie - analog zur Winkelvariablen beim Pendel - immer wieder auf ein endliches Intervall zurückgefaltet. Die Differenz zwischen zwei Anfangswerten, die sich um e0 unterscheiden, wird schon nach einem Iterationsschritt um einen Faktor 10 erhöht. Die Fehlerverstärkung erfolgt exponentiell mit der Zeit t: Chaos. Der Ljapunow-Exponent l beschreibt dabei die Rate der exponentiellen Fehlerverstärkung und hat in unserem Beispiel den Wert ln 10. Betrachten wir die Wirkung von s(x) z.B. auf den Anfangswert Chaos:
 Chaos

Wir sehen, dass die Ziffern bei jeder Iteration um eine Stelle nach links wandern und alle Stellen vor dem Komma, bis auf eine, abgeschnitten werden. Damit werden Ziffern, die in p weit hinter dem Komma stehen, eine nach der anderen nach vorne geholt und "sichtbar gemacht". Stellen wir uns nun vor, dass die Anfangsbedingung eine Zahl ist, die wir aus einem Experiment nur bis auf drei Stellen nach dem Komma genau kennen, so können wir schreiben: Chaos, wobei die Fragezeichen für die unbekannten Ziffern stehen. Nach drei bzw. vier Iterationen mit s(x) erhalten wir Chaos und Chaos, d.h. schon die vierte Iterierte besteht nur noch aus Fragezeichen, ist also völlig unbekannt. Wir können über sie somit keine Vorhersagen mehr machen, das System zeigt chaotisches Verhalten. Wir sehen aber auch, dass für kurze Zeiten (im obigen Beispiel für drei Zeitschritte) das Verhalten des chaotischen Systems berechnet, d.h. vorhergesagt werden kann. Für längere Zeiten sind nur noch statistische Aussagen über das Systemverhalten möglich.

Dissipative Systeme: Seltsame Attraktoren

Dies führt zum Begriff des Seltsamen Attraktors. Nichtlineare Systeme lassen sich mit Differentialgleichungen erster Ordnung von der Form Chaos mit Chaos oder durch Iterationsgleichungen der Form Chaos beschreiben. Die Gesamtheit der Vektoren Chaos spannt den Phasenraum auf. Ein Attraktor ist nun ein beschränktes Gebiet dieses Phasenraumes, in das die Trajektorie Chaos im Laufe der Zeit gezogen wird. Einfache Attraktoren sind z.B. Fixpunkte

oder Grenzzyklen ([4]Abb. 3a, [5]Abb. 3b, [6]Abb. 3c, [7]Abb. 3d, [8]Abb. 3e,). Ein Seltsamer Attraktor ist dadurch gekennzeichnet, dass in einem beschränkten Gebiet des Phasenraumes benachbarte Punkte im Laufe der Zeit exponentiell auseinanderlaufen. [9]Abb. 3b und [10]Abb. 3c zeigen, wie in einem dissipativen System, in welchem die Energie nicht erhalten ist, sondern z.B. durch Reibung dissipiert wird, Chaos entsteht: durch Strecken und Falten entsteht aus einem Würfel im Phasenraum unter dem Einfluss der chaotischen Dynamik eine fraktale Blätterteigstruktur, die die Eigenschaften eines Seltsamen Attraktors besitzt ([11]Abb. 3b). Der in [12]Abb. 3c gezeigte Poincaré-Schnitt dieses Attraktors zeigt diese Struktur ebenfalls. Kenngrössen des Attraktors sind einmal seine Punktdichte r(Chaos) - sie gibt an, wie häufig ein Punkt des Phasenraums von der Trajektorien besucht wird - und zum anderen seine lokalen Ljapunow-Exponenten Chaos, die angeben, wie rasch benachbarte Trajektorien in unterschiedliche Richtungen lokal separieren ([13]Abb. 3d und [14]Abb. 3e).

Wege ins Chaos

Ein wichtiges Ziel der Chaosforschung ist es, das Einsetzen von Turbulenz zu verstehen. Während aber Turbulenz in realen Flüssigkeiten oder Gasen ein raum-zeitliches Phänomen ist, d.h. viele Freiheitsgrade betrifft, hat man bisher nur Übergänge ins rein zeitliche deterministische Chaos mit wenigen Freiheitsgraden untersucht. Ein wichtiger Weg ins zeitliche Chaos ist die sogenannte Periodenverdopplungsroute oder Feigenbaumroute. Sie wurde von Grossmann und Thomae (1977) und von M.J. Feigenbaum (1978) durch Untersuchung der logistischen Abbildung Chaos gefunden. Diese Abbildung beschreibt z.B. das Wachstum einer Tierpopulation auf einer beschränkten Fläche, wobei xt die auf das Intervall [0, 1] normierte Individuenzahl der Population ist. Diese Abbildung führt für komplexe Werte von r und xt zu den fraktalen Formen der Mandelbrot-Mengen (der sog. Apfelmännchen). Kleine Populationen mit Chaos wachsen exponentiell, denn dann ist Chaos und damit Chaos. Für grosse xt wird das Wachstum durch den beschränkten Futtervorrat auf der Fläche, d.h. den Faktor (1 - xt), gebremst. Wenn man die Iterierten x1, x2, ... der logistischen Abbildung mit dem Computer für verschiedene Werte des Kontrollparameters r berechnet, so erhält man [15]Abb. 4b. Für kleine Werte des Kontrollparameters hat die Abbildung einen Fixpunkt. Dieser wird bei r = r1 instabil zugunsten eines Zweierzyklus, bei r = r2 entsteht ein Viererzyklus, bei r = rn ein Zyklus der Länge 2n. Schliesslich wird bei einem endlichen Wert r ¥  = 3,5699456... die Zykluslänge unendlich. Die normierte Individuenzahl xt der Population springt zwischen unendlich vielen Werten hin und her, das System fängt an, Chaos zu zeigen, und der Ljapunow-Exponent l wird bei r ¥  positiv. Feigenbaum hat als erster erkannt, dass diese Periodenverdopplungsroute ins Chaos universelle Eigenschaften hat. Sie tritt für alle Abbildungen auf, die im Einheitsintervall nur ein quadratisches Maximum haben, z.B. auch für Chaos. Das Verhältnis Chaos strebt für n Chaos  ¥  gegen den Wert d = 4,6692016, das Verhältnis Chaos (dn beschreibt im wesentlichen den Abstand benachbarter Fixpunkte, siehe [16]Abb. 4c) gegen den Wert a = 2,5029078. a und d werden als die universellen Feigenbaum-Zahlen bezeichnet. Diese universellen Werte lassen sich im Rahmen der Renormierungsgruppentheorie verstehen. Die Periodenverdopplungsroute und mit ihr die Feigenbaumzahlen wurden in vielen Systemen experimentell gefunden ([17]Abb. 5). Ausser der Feigenbaumroute gibt es noch eine Fülle anderer Wege ins Chaos, die ebenfalls universelles Verhalten zeigen.

Konservative Systeme: das KAM-Theorem

Wir kommen nun zum zweiten Zweig der Tabelle, der die Bewegung in konservativen Systemen beschreibt. Schon 1893 wusste der französische Mathematiker H. Poincaré, dass die Bewegungsgleichungen von drei durch Gravitation wechselwirkenden Körpern (Dreikörperproblem) nicht integrabel sind und zu völlig chaotischen Bewegungen im Raum führen können. Das Studium konservativer (d.h. nicht-dissipativer) chaotischer Systeme wird dadurch erschwert, dass es aus Gründen der Energieerhaltung keine Attraktoren wie bei dissipativen Systemen gibt. Um 1950 bewiesen A.N. Kolmogorow, W.I. Arnold und J. Moser das sogenannte Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (KAM-Theorem). Es besagt, dass die Bewegung im Phasenraum der klassischen Mechanik weder vollständig regulär noch vollständig chaotisch ist, sondern dass das Verhalten der Trajektorie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt. Das bedeutet, dass stabile, reguläre Bewegung, wie sie in den meisten Lehrbüchern behandelt wird, bei klassischen Systemen die Ausnahme ist! Abb. 6 zeigt die sog. Cassinische Teilung im Ring des Saturn. Sie ist darauf zurückzuführen, dass die Trajektorien im Gebiet der Cassinischen Teilung instabil sind, so dass die Gesteinsbrocken, die sich bei der Entstehung des Saturnringes zunächst dort befanden, im Laufe der Zeit chaotisch abgewandert sind.

Ausblick

Das Langzeitverhalten konservativer chaotischer Systeme berührt eine ganze Reihe grundsätzlicher Fragen, die von der Stabilität des Sonnensystems über die Stabilität von Strahlen in Teilchenbeschleunigern bis hin zur Begründung der Ergodenhypothese der statistischen Mechanik reichen. Zu den wichtigsten neuen Zweigen der Chaosforschung gehören die Erforschung des Quantenchaos, wo die Frage untersucht wird, wie sich quantenmechanische Systeme verhalten, deren klassischer Grenzfall Chaos zeigt, und das Phänomen der Chaoskontrolle, bei dem durch Rückkopplung in chaotischen Systemen ursprünglich instabile Trajektorien resonanzartig stabilisiert werden. Die wesentliche Grunderkenntnis aus der Entdeckung des deterministischen Chaos in dissipativen und konservativen Systemen ist die, dass selbst schon recht einfache Systeme in ihrem Langzeitverhalten unvorhersagbar werden. Diese Einsicht wird uns bei der täglichen Wettervorhersage zwar vor Augen geführt, sie wurde uns aber erst durch die Entdeckung des deterministischen Chaos in ihren Wurzeln verständlich.

Chaos

Chaos

Chaos 1: Das getriebene Pendel: a) Sein Winkel q verhält sich als Funktion der Zeit t chaotisch. b) Zwei Trajektorien im Phasenraum (q, Chaos), die sich durch die Anfangsbedingungen unterscheiden, laufen mit der Zeit exponentiell auseinander (grau: q(t = 0) = 0, Chaos(t = 0) = 0, schwarz: q(t = 0)  = 0, Chaos(t = 0) = 0,2). Die Bahnen wurden durch numerische Integration der Pendelgleichung Chaos erhalten mit den Werten g = 0,3 für die Dämpfungskonstante, A = 4,5 für das Antriebsmoment und w = 0,6 für die Antriebsfrequenz.

Chaos

Chaos 2: Die Bernoulli-Abbildung Chaos.

Chaos


Chaos


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Chaos


Chaos

Chaos 3: Seltsame Attraktoren: a) schematische Darstellung verschiedener Attraktoren im Phasenraum des getriebenen Pendels: (i) Fixpunkt, (ii) Grenzzyklus, (iii) Seltsamer Attraktor; b) durch Streckung und Faltung entsteht aus einem Würfel eine fraktale "Blätterteigstruktur"; der Poincaré-Schnitt des zum Duffing-Oszillator gehörenden Seltsamen Attraktors (c) zeigt ebenfalls diese Struktur. Auf diesem Attraktor, der eine schleifenförmige Struktur besitzt, sind die lokalen Ljapunow-Exponenten l (d) ganz anders verteilt als die lokalen Punktdichte r; e) Eine hohe lokale Instabilität, d.h. ein grosser lokaler Ljapunow-Exponent, geht also durchaus nicht in Hand mit einer besonders hohen oder niedrigen lokalen Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Die Farbskala reicht für beide Variablen von blau (minimal) bis gelb (maximal).

Chaos

Chaos

Chaos

Chaos 4: Die Periodenverdopplungsroute ins Chaos: a) die logistische Abbildung, b) ein Zweierzyklus stellt sich ein. c) Die Iterierten der logistischen Abbildung als Funktion des Kontrollparameters r zeigen den Übergang von einfacher über doppelte und vierfache Periode ins Chaos (unendlich grosse Periode). d) Der Liapunov-Exponent der logistischen Abbildung als Funktion des Kontrollparameters r; er ist für r < r ¥  negativ oder Null (Dämpfung) und kann oberhalb von r ¥  positive Werte annehmen (exponentielle Verstärkung).

Chaos


Chaos

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Chaos 5: Die Periodenverdopplungsroute bei einem nichtlinearen elektronischen Oszillator. a) Der getriebene Schwingkreis enthält eine nichtlineare Kapazitätsdiode C; b) Die Oszilloskopbilder zeigen die Strom-Spannungs-Kennlinie für verschiedene Werte der Antriebsspannung V0. Man erkennt den Übergang von einfacher über doppelte und vierfache Periode ins Chaos (unendlich grosse Periode).

Chaos

Chaos 6: Die Cassinische Teilung. Der Ring des Saturn (links) zeigt eine grosse Lücke, die sog. Cassinische Teilung (rechts), da die Bewegung auf Bahnen in diesem Raumgebiet instabil ist.

 

 

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