Die Bernoulli-Abbildung

Um zu verstehen, wie deterministisches Chaos zustande kommt, betrachten wir die in [3]Abb. 2 dargestellte iterative Bernoulli-Abbildung  ("t" bzw. "t + 1" sind hier nicht als Exponent, sondern als Iterations-Indizes aufzufassen), die eine chaotische Punktfolge erzeugt. Diese Abbildung hat zwei wesentliche Eigenschaften: Erstens verstärken sich kleine Fehler in den Anfangsbedingungen (s.o.). Zweitens wird die Trajektorie - analog zur Winkelvariablen beim Pendel - immer wieder auf ein endliches Intervall zurückgefaltet. Die Differenz zwischen zwei Anfangswerten, die sich um e⁰ unterscheiden, wird schon nach einem Iterationsschritt um einen Faktor 10 erhöht. Die Fehlerverstärkung erfolgt exponentiell mit der Zeit t: . Der Ljapunow-Exponent l beschreibt dabei die Rate der exponentiellen Fehlerverstärkung und hat in unserem Beispiel den Wert ln 10. Betrachten wir die Wirkung von s(x) z.B. auf den Anfangswert :
 

Wir sehen, dass die Ziffern bei jeder Iteration um eine Stelle nach links wandern und alle Stellen vor dem Komma, bis auf eine, abgeschnitten werden. Damit werden Ziffern, die in p weit hinter dem Komma stehen, eine nach der anderen nach vorne geholt und "sichtbar gemacht". Stellen wir uns nun vor, dass die Anfangsbedingung eine Zahl ist, die wir aus einem Experiment nur bis auf drei Stellen nach dem Komma genau kennen, so können wir schreiben: , wobei die Fragezeichen für die unbekannten Ziffern stehen. Nach drei bzw. vier Iterationen mit s(x) erhalten wir  und , d.h. schon die vierte Iterierte besteht nur noch aus Fragezeichen, ist also völlig unbekannt. Wir können über sie somit keine Vorhersagen mehr machen, das System zeigt chaotisches Verhalten. Wir sehen aber auch, dass für kurze Zeiten (im obigen Beispiel für drei Zeitschritte) das Verhalten des chaotischen Systems berechnet, d.h. vorhergesagt werden kann. Für längere Zeiten sind nur noch statistische Aussagen über das Systemverhalten möglich.

Dissipative Systeme: Seltsame Attraktoren

Dies führt zum Begriff des Seltsamen Attraktors. Nichtlineare Systeme lassen sich mit Differentialgleichungen erster Ordnung von der Form  mit  oder durch Iterationsgleichungen der Form  beschreiben. Die Gesamtheit der Vektoren  spannt den Phasenraum auf. Ein Attraktor ist nun ein beschränktes Gebiet dieses Phasenraumes, in das die Trajektorie  im Laufe der Zeit gezogen wird. Einfache Attraktoren sind z.B. Fixpunkte

oder Grenzzyklen ([4]Abb. 3a, [5]Abb. 3b, [6]Abb. 3c, [7]Abb. 3d, [8]Abb. 3e,). Ein Seltsamer Attraktor ist dadurch gekennzeichnet, dass in einem beschränkten Gebiet des Phasenraumes benachbarte Punkte im Laufe der Zeit exponentiell auseinanderlaufen. [9]Abb. 3b und [10]Abb. 3c zeigen, wie in einem dissipativen System, in welchem die Energie nicht erhalten ist, sondern z.B. durch Reibung dissipiert wird, Chaos entsteht: durch Strecken und Falten entsteht aus einem Würfel im Phasenraum unter dem Einfluss der chaotischen Dynamik eine fraktale Blätterteigstruktur, die die Eigenschaften eines Seltsamen Attraktors besitzt ([11]Abb. 3b). Der in [12]Abb. 3c gezeigte Poincaré-Schnitt dieses Attraktors zeigt diese Struktur ebenfalls. Kenngrössen des Attraktors sind einmal seine Punktdichte r() - sie gibt an, wie häufig ein Punkt des Phasenraums von der Trajektorien besucht wird - und zum anderen seine lokalen Ljapunow-Exponenten , die angeben, wie rasch benachbarte Trajektorien in unterschiedliche Richtungen lokal separieren ([13]Abb. 3d und [14]Abb. 3e).

Wege ins Chaos

Ein wichtiges Ziel der Chaosforschung ist es, das Einsetzen von Turbulenz zu verstehen. Während aber Turbulenz in realen Flüssigkeiten oder Gasen ein raum-zeitliches Phänomen ist, d.h. viele Freiheitsgrade betrifft, hat man bisher nur Übergänge ins rein zeitliche deterministische Chaos mit wenigen Freiheitsgraden untersucht. Ein wichtiger Weg ins zeitliche Chaos ist die sogenannte Periodenverdopplungsroute oder Feigenbaumroute. Sie wurde von Grossmann und Thomae (1977) und von M.J. Feigenbaum (1978) durch Untersuchung der logistischen Abbildung  gefunden. Diese Abbildung beschreibt z.B. das Wachstum einer Tierpopulation auf einer beschränkten Fläche, wobei x^t die auf das Intervall [0, 1] normierte Individuenzahl der Population ist. Diese Abbildung führt für komplexe Werte von r und x^t zu den fraktalen Formen der Mandelbrot-Mengen (der sog. Apfelmännchen). Kleine Populationen mit  wachsen exponentiell, denn dann ist  und damit . Für grosse x^t wird das Wachstum durch den beschränkten Futtervorrat auf der Fläche, d.h. den Faktor (1 - x^t), gebremst. Wenn man die Iterierten x¹, x², ... der logistischen Abbildung mit dem Computer für verschiedene Werte des Kontrollparameters r berechnet, so erhält man [15]Abb. 4b. Für kleine Werte des Kontrollparameters hat die Abbildung einen Fixpunkt. Dieser wird bei r = r₁ instabil zugunsten eines Zweierzyklus, bei r = r₂ entsteht ein Viererzyklus, bei r = r_n ein Zyklus der Länge 2ⁿ. Schliesslich wird bei einem endlichen Wert r _¥  = 3,5699456... die Zykluslänge unendlich. Die normierte Individuenzahl x^t der Population springt zwischen unendlich vielen Werten hin und her, das System fängt an, Chaos zu zeigen, und der Ljapunow-Exponent l wird bei r _¥  positiv. Feigenbaum hat als erster erkannt, dass diese Periodenverdopplungsroute ins Chaos universelle Eigenschaften hat. Sie tritt für alle Abbildungen auf, die im Einheitsintervall nur ein quadratisches Maximum haben, z.B. auch für . Das Verhältnis  strebt für n   ¥  gegen den Wert d = 4,6692016, das Verhältnis  (d_n beschreibt im wesentlichen den Abstand benachbarter Fixpunkte, siehe [16]Abb. 4c) gegen den Wert a = 2,5029078. a und d werden als die universellen Feigenbaum-Zahlen bezeichnet. Diese universellen Werte lassen sich im Rahmen der Renormierungsgruppentheorie verstehen. Die Periodenverdopplungsroute und mit ihr die Feigenbaumzahlen wurden in vielen Systemen experimentell gefunden ([17]Abb. 5). Ausser der Feigenbaumroute gibt es noch eine Fülle anderer Wege ins Chaos, die ebenfalls universelles Verhalten zeigen.

Konservative Systeme: das KAM-Theorem

Wir kommen nun zum zweiten Zweig der Tabelle, der die Bewegung in konservativen Systemen beschreibt. Schon 1893 wusste der französische Mathematiker H. Poincaré, dass die Bewegungsgleichungen von drei durch Gravitation wechselwirkenden Körpern (Dreikörperproblem) nicht integrabel sind und zu völlig chaotischen Bewegungen im Raum führen können. Das Studium konservativer (d.h. nicht-dissipativer) chaotischer Systeme wird dadurch erschwert, dass es aus Gründen der Energieerhaltung keine Attraktoren wie bei dissipativen Systemen gibt. Um 1950 bewiesen A.N. Kolmogorow, W.I. Arnold und J. Moser das sogenannte Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (KAM-Theorem). Es besagt, dass die Bewegung im Phasenraum der klassischen Mechanik weder vollständig regulär noch vollständig chaotisch ist, sondern dass das Verhalten der Trajektorie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt. Das bedeutet, dass stabile, reguläre Bewegung, wie sie in den meisten Lehrbüchern behandelt wird, bei klassischen Systemen die Ausnahme ist! Abb. 6 zeigt die sog. Cassinische Teilung im Ring des Saturn. Sie ist darauf zurückzuführen, dass die Trajektorien im Gebiet der Cassinischen Teilung instabil sind, so dass die Gesteinsbrocken, die sich bei der Entstehung des Saturnringes zunächst dort befanden, im Laufe der Zeit chaotisch abgewandert sind.

Ausblick

Das Langzeitverhalten konservativer chaotischer Systeme berührt eine ganze Reihe grundsätzlicher Fragen, die von der Stabilität des Sonnensystems über die Stabilität von Strahlen in Teilchenbeschleunigern bis hin zur Begründung der Ergodenhypothese der statistischen Mechanik reichen. Zu den wichtigsten neuen Zweigen der Chaosforschung gehören die Erforschung des Quantenchaos, wo die Frage untersucht wird, wie sich quantenmechanische Systeme verhalten, deren klassischer Grenzfall Chaos zeigt, und das Phänomen der Chaoskontrolle, bei dem durch Rückkopplung in chaotischen Systemen ursprünglich instabile Trajektorien resonanzartig stabilisiert werden. Die wesentliche Grunderkenntnis aus der Entdeckung des deterministischen Chaos in dissipativen und konservativen Systemen ist die, dass selbst schon recht einfache Systeme in ihrem Langzeitverhalten unvorhersagbar werden. Diese Einsicht wird uns bei der täglichen Wettervorhersage zwar vor Augen geführt, sie wurde uns aber erst durch die Entdeckung des deterministischen Chaos in ihren Wurzeln verständlich.

Chaos 1: Das getriebene Pendel: a) Sein Winkel q verhält sich als Funktion der Zeit t chaotisch. b) Zwei Trajektorien im Phasenraum (q, ), die sich durch die Anfangsbedingungen unterscheiden, laufen mit der Zeit exponentiell auseinander (grau: q(t = 0) = 0, (t = 0) = 0, schwarz: q(t = 0)  = 0, (t = 0) = 0,2). Die Bahnen wurden durch numerische Integration der Pendelgleichung  erhalten mit den Werten g = 0,3 für die Dämpfungskonstante, A = 4,5 für das Antriebsmoment und w = 0,6 für die Antriebsfrequenz.

Chaos 2: Die Bernoulli-Abbildung .

Chaos 3: Seltsame Attraktoren: a) schematische Darstellung verschiedener Attraktoren im Phasenraum des getriebenen Pendels: (i) Fixpunkt, (ii) Grenzzyklus, (iii) Seltsamer Attraktor; b) durch Streckung und Faltung entsteht aus einem Würfel eine fraktale "Blätterteigstruktur"; der Poincaré-Schnitt des zum Duffing-Oszillator gehörenden Seltsamen Attraktors (c) zeigt ebenfalls diese Struktur. Auf diesem Attraktor, der eine schleifenförmige Struktur besitzt, sind die lokalen Ljapunow-Exponenten l (d) ganz anders verteilt als die lokalen Punktdichte r; e) Eine hohe lokale Instabilität, d.h. ein grosser lokaler Ljapunow-Exponent, geht also durchaus nicht in Hand mit einer besonders hohen oder niedrigen lokalen Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Die Farbskala reicht für beide Variablen von blau (minimal) bis gelb (maximal).

Chaos 4: Die Periodenverdopplungsroute ins Chaos: a) die logistische Abbildung, b) ein Zweierzyklus stellt sich ein. c) Die Iterierten der logistischen Abbildung als Funktion des Kontrollparameters r zeigen den Übergang von einfacher über doppelte und vierfache Periode ins Chaos (unendlich grosse Periode). d) Der Liapunov-Exponent der logistischen Abbildung als Funktion des Kontrollparameters r; er ist für r < r _¥  negativ oder Null (Dämpfung) und kann oberhalb von r _¥  positive Werte annehmen (exponentielle Verstärkung).

b

Chaos 5: Die Periodenverdopplungsroute bei einem nichtlinearen elektronischen Oszillator. a) Der getriebene Schwingkreis enthält eine nichtlineare Kapazitätsdiode C; b) Die Oszilloskopbilder zeigen die Strom-Spannungs-Kennlinie für verschiedene Werte der Antriebsspannung V₀. Man erkennt den Übergang von einfacher über doppelte und vierfache Periode ins Chaos (unendlich grosse Periode).

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