Techniklexikon

Frenetsche Formeln

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Gleichungen der Differentialgeometrie, welche die Ableitungen des Tangentenvektors t, des Hauptnormalenvektors h und des Binormalenvektors b = t ´ h bezüglich der Bogenlänge s (auch als natürlicher Parameter bezeichnet) durch diese Vektoren selbst sowie die Krümmung k₁ und die Torsion k₂ der Kurve ausdrücken:

Der Punkt steht hier für die Ableitung nach s. Die drei Vektoren formen ein orthonormiertes Rechtssystem und bilden das sog. begleitende Dreibein einer Kurve im ³. Die Veränderung dieses Dreibeins beim Durchlaufen der Kurve ist charakteristisch für diese Kurve. Die Krümmung k₁ einer Kurve ist definiert als der Betrag der zweiten Ableitung des Kurvenbogens. Die Torsion k₂ gibt an, in welchem Mass die Kurve von einem ebenen Verlauf abweicht. Wie der dritten Frenetschen Gleichung zu entnehmen ist, verschwindet die Torsion dann, wenn die Kurve eben, d.h.  = 0 ist.