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Frenetsche Formeln

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Gleichungen der Differentialgeometrie, welche die Ableitungen des Tangentenvektors t, des Hauptnormalenvektors h und des Binormalenvektors b = t ´ h bezüglich der Bogenlänge s (auch als natürlicher Parameter bezeichnet) durch diese Vektoren selbst sowie die Krümmung k1 und die Torsion k2 der Kurve ausdrücken:

Der Punkt steht hier für die Ableitung nach s. Die drei Vektoren formen ein orthonormiertes Rechtssystem und bilden das sog. begleitende Dreibein einer Kurve im Frenetsche Formeln3. Die Veränderung dieses Dreibeins beim Durchlaufen der Kurve ist charakteristisch für diese Kurve. Die Krümmung k1 einer Kurve ist definiert als der Betrag der zweiten Ableitung des Kurvenbogens. Die Torsion k2 gibt an, in welchem Mass die Kurve von einem ebenen Verlauf abweicht. Wie der dritten Frenetschen Gleichung zu entnehmen ist, verschwindet die Torsion dann, wenn die Kurve eben, d.h.  = 0 ist.

 

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