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Newton-Cotes-Formeln

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Rechenvorschrift zur numerischen Integration einer Funktion Newton-Cotes-Formeln auf dem Intervall Newton-Cotes-Formeln, die darauf beruht, die Funktion Newton-Cotes-Formeln im Intervall Newton-Cotes-Formeln durch ein auf Newton-Cotes-Formeln äquidistanten Stützstellen fussendes interpolierendes Polynom Newton-Cotes-Formeln zu ersetzen und das Integral Newton-Cotes-Formeln durch Newton-Cotes-Formeln zu nähern. Hierbei gilt mit Newton-Cotes-Formeln, Newton-Cotes-Formeln, Newton-Cotes-Formeln und Newton-Cotes-Formeln

Newton-Cotes-Formeln

wobei die Gewichte Newton-Cotes-Formeln nur von Newton-Cotes-Formeln, nicht aber von Newton-Cotes-Formeln oder Newton-Cotes-Formeln und Newton-Cotes-Formeln abhängen und der Beziehung Newton-Cotes-Formeln genügen. Es ist bequem, die Regeln in der Form Newton-Cotes-Formeln zu schreiben, wobei die rationale Zahl Newton-Cotes-Formeln so gewählt ist, dass das Newton-Cotes-Formeln-Tupel Newton-Cotes-Formeln nur aus natürlichen Zahlen besteht. Für spezielle Werte von Newton-Cotes-Formeln tragen die Newton-Cotes-Formeln die in der Tabelle angegebenen Namen.

Die Newton-Cotes-Formeln sind exakt für Polynome vom Grade Newton-Cotes-Formeln, falls Newton-Cotes-Formeln ungerade, aber exakt bis zum Grad Newton-Cotes-Formeln, falls Newton-Cotes-Formeln gerade ist. Wichtig ist, dass sämtliche Gewichte Newton-Cotes-Formeln positiv sind, da die Newton-Cotes-Formeln andernfalls instabil werden. Aus Genauigkeitsgründen verwendet man die Newton-Cotes-Formeln nicht für das gesamte Intervall Newton-Cotes-Formeln, sondern unterteilt Newton-Cotes-Formeln in Newton-Cotes-Formeln Teilintervalle, wendet die Newton-Cotes-Formeln auf jedes Teilintervall an, addiert die Näherungswerte der Teilintegrale und erhält so eine zusammengesetzte Quadraturformel. Mit Newton-Cotes-Formeln ergibt sich so die (zusammengesetzte) Trapezregel Newton-Cotes-Formeln

Newton-Cotes-Formeln

und für Newton-Cotes-Formeln die (zusammengesetzte) Simpson-Regel

Newton-Cotes-Formeln

mit Newton-Cotes-Formeln.

Newton-Cotes-Formeln für spezielle Werte von n.

Newton-Cotes-Formeln

Regel

Newton-Cotes-Formeln

Newton-Cotes-Formeln

1

Trapez

1/2

1 1

2

Simpson

1/3

1 4 1

3

Simpsons 3/8

3/8

1 3 3 1

4

Bodes

2/45

7 32 12 32 7

 

 

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