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topologischer Raum

Mathematische Methoden und Computereinsatz, ein Paar topologischer Raum, bestehend aus einer Menge X und einer Menge topologischer Raum von Teilmengen (»offene Mengen«) Ui von X, mit den Eigenschaften: (Axiom 1) Beliebige Vereinigungen von offenen Mengen sind offen; (Axiom 2) der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist offen; (Axiom 3) die leere Menge und X sind offen. Man sagt, topologischer Raum ordnet X eine Topologie zu; oft wird X alleine auch topologischer Raum genannt. Beispiele: a) Ist topologischer Raum die Menge aller Teilmengen von X, sind die Axiome automatisch erfüllt (diskrete Topologie). b) topologischer Raum induziert die (ziemlich uninteressante) triviale Topologie. c) Sei X die reelle Achse topologischer Raum; alle offenen Intervalle topologischer Raum und ihre Vereinigungen definieren die sog. gewöhnliche Topologie (analog im topologischer Raum).

Existieren bei einem topologischen Raum für ein beliebiges Paar distinkter Punkte topologischer Raum immer Umgebungen topologischer Raum von topologischer Raum und topologischer Raum von topologischer Raum, so dass topologischer Raum, nennt man ihn Hausdorff-Raum. Fast alle relevanten Räume in der Physik sind Hausdorff-Räume, z.B. der topologischer Raum oder die metrischen Räume.

 

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