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Trigonometrie

Mathematische Methoden und Computereinsatz, die mathematische Disziplin, die sich mit den Beziehungen von Winkeln und Seiten in ebenen und sphärischen Dreiecken beschäftigt. Der Hauptgegenstand der Trigonometrie sind die Winkelfunktionen (Kreisfunktionen) Cosecans, Cosinus, Secans, Sinus, Tangens und Cotangens, die ihre elementare Definition im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen 0°und 90° erfahren und dann im Einheitskreis schliesslich für beliebige Winkel definiert werden. Seien die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Trigonometrie und die beiden Katheten mit Trigonometrie und Trigonometrie bezeichnet; letzteren gegenüber mögen die Winkel Trigonometrie und Trigonometrie liegen (siehe Abb. 1). Die elementaren Definitionen im rechtwinkligen Dreieck lauten dann:

Trigonometrie

Die übrigen Winkelfunktionen ergeben sich zu

Trigonometrie

Aus der entsprechenden Verallgemeinerung, bei der das rechtwinklige Dreieck in einem Einheitskreis plaziert wird (siehe Abb. 2), folgen die Vorzeichen für Trigonometrie, Trigonometrie und Trigonometrie in den einzelnen Quadranten,

Trigonometrie

sowie der Beweis, dass die Winkelfunktionen 2p-periodische, Trigonometrie und Trigonometrie sogar p-periodische Funktionen sind; es gilt Trigonometrie und Trigonometrie sowie Trigonometrie und Trigonometrie. Desweiteren folgen aus der Definition von Trigonometrie und Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck und den Vorzeichen im Einheitskreis die Wertebereiche Trigonometrie und Trigonometrie. Für spezielle Winkel lassen sich die Werte der Winkelfunktionen aus der Tabelle ablesen. Algebraisch lassen sich Trigonometrie und Trigonometrie auch mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktionen in der Form

Trigonometrie

definieren. Damit, oder auch elementargeometrisch, lassen sich eine Vielzahl nützlicher Beziehungen und Additionstheoreme zwischen den Winkelfunktionen beweisen (siehe Nachsatz Band 3).

Im allgemeinen ebenen Dreieck sind der Sinussatz

Trigonometrie

und der Cosinussatz

Trigonometrie

von Bedeutung. Die Trigonometrie spielt eine wichtige Rolle in vielen geometrischen, auf Dreiecksberechnungen basierenden Problemen, z.B. in der Landvermessung. In Physik und Technik treten die Winkelfunktionen häufig im Zusammenhang mit der elementaren Vektorrechnung auf. In der Astronomie wird insbesondere die sphärische Trigonometrie –hier gelten entsprechende Varianten von Cosinussatz und Sinussatz im Kugeldreieck – gebraucht.

Trigonometrie: Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen.

 

sin

cos

tan

0

1

0

30°

Trigonometrie

Trigonometrie

Trigonometrie

45°

Trigonometrie

Trigonometrie

1

60°

Trigonometrie

Trigonometrie

Trigonometrie

90°

1

0

Trigonometrie

 

Trigonometrie

Trigonometrie 1: Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck.

Trigonometrie

Trigonometrie 2: Konstruktion der Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Trigonometrie

Trigonometrie 3: Graphen der Winkelfunktionen. a) Sinus, b) Cosinus, c) Tangens, d) Cotangens, e) Secans, f) Cosecans.

 

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