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Airysche Differentialgleichung

die Differentialgleichung y ²  - xy = 0, die z.B. die stationären Zustände einer quantenmechanischen Wellenfunktion in einem Potential beschreibt, welches proportional zu x anwächst. Lösungen dieser Gleichung sind die Linearkombinationen der Airyschen Funktionen Ai(x) und Bi(x). Diese lassen sich durch die Linearkombinationen Airysche Differentialgleichung und Airysche Differentialgleichung der beiden schnell konvergierenden Potenzreihen

Airysche Differentialgleichung und Airysche Differentialgleichung

definieren, der Konvergenzradius ist unendlich. Die Linearkombinationen für Ai und Bi sind dabei so gewählt, dass für x Airysche Differentialgleichung ¥  Bi(x) exponentiell anwächst, während Ai(x) exponentiell abfällt, und für x Airysche Differentialgleichung  - ¥  beide um 90° phasenverschoben oszillieren, und zwar mit anwachsender Wellenzahl und abnehmender Amplitude. Die Airysche Differentialgleichung kann auch als Bewegungsgleichung für ein Federpendel aufgefasst werden, dessen Federkonstante proportional zur Zeit abfällt.

Airysche Differentialgleichung

Airysche Differentialgleichung: Verlauf der Airyschen Funktionen

 

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