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Brillouin-Zonen

nach L. Brillouin benannte symmetrische Polyeder im reziproken Gitter. Brillouin-Zonen spielen eine wesentliche Rolle bei der Behandlung von Stoss- und Streuprozessen sowie von elektronischen Energiezuständen im Festkörper. Konstruiert werden die Brillouin-Zonen, indem man von einem beliebigen Punkt des reziproken Gitters aus Verbindungslinien zu den übrigen Gitterpunkten zieht und in der Mitte jedes dieser reziproken Gittervektoren eine dazu senkrechte Ebene errichtet (Abb. 1). Diese Ebenen teilen den reziproken Raum in Zonen gleichen Volumens, die Brillouin-Zonen, auf. Der kleinste solchermassen aufgespannte Polyeder heisst erste Brillouin-Zone, auch Wigner-Seitz-Zelle. Er enthält das gleiche Volumen wie eine herkömmliche Elementarzelle im reziproken Gitter.

Zu jeder Kristallstruktur gibt es für sie charakteristische Brillouin-Körper, welche die Punktsymmetrie des jeweiligen Gittertyps besitzen (Abb. 2). Ein Brillouin-Körper n-ter Ordnung wird nach aussen von der n-ten Brillouin-Zonengrenze begrenzt.

Die Beschreibung der Wellenausbreitung in Kristallen vereinfacht sich, wenn man die Wellenzahlvektoren k über den reziproken Gittervektor G unter Bildung von reduzierten Gittervektoren kr in die erste Brillouin-Zone zurückführt. Die erste Brillouin-Zone reicht aus für die Charakterisierung von Kristalleigenschwingungen (Phononen), für die Behandlung von Wechselwirkungen zwischen Phononen und zwischen diesen und elektromagnetischen bzw. korpuskularen Strahlen sowie zur Unterscheidung der Energiezustände eines Energiebandes (Bandstruktur).

An den Brillouin-Zonengrenzen erfolgt ein Sprung in der Energie der Gitterelektronen (Bandlücken), zur Numerierung der Energiezustände genügt bereits die erste Brillouin-Zone.

Anhand der ersten Brillouin-Zone lässt sich auch die Strahlungsbeugungsbedingung 2k G = G2 anschaulich darstellen: Auf dem Rand der ersten Brillouin-Zone enden alle Wellenzahlvektoren k, die vom Kristall reflektiert werden (Braggsches Reflexionsgesetz, Ewald-Konstruktion).

Brillouin-Zonen

Brillouin-Zonen 1: Konstruktion der ersten (hell) und zweiten Brillouin-Zone eines rechtwinkligen reziproken Flächengitters.

Brillouin-Zonen

Brillouin-Zonen 2: Brillouin-Körper für das kubisch-flächenzentrierte Gitter. Ein Körper n-ter Ordnung wird von den n-ten Brillouin-Zonen des Gitters begrenzt.

 

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