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Kurvenintegral

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Linienintegral, skalarwertiges Integral einer vektorwertigen Funktion (Vektorfeld) entlang einer Kurve. Sei Kurvenintegral eine vektorwertige Funktion und Kurvenintegral eine Kurve mit Anfangs- und Endpunkten Kurvenintegral und Kurvenintegral. Dann heisst das Integral

Kurvenintegral

 Kurvenintegral. In der Physik gibt es viele Anwendungen des Kurvenintegrals. Handelt es sich bei F z.B. um ein Kraftfeld, dann stellt das Kurvenintegral die Arbeit dar, die geleistet wird, wenn man einen Massepunkt vom Punkt Kurvenintegral zum Punkt Kurvenintegral entlang der Kurve g verschiebt. Ein besonders wichtiger Fall liegt vor, wenn es sich um ein divergenzfreies Vektorfeld handelt, d.h. div F = 0. In diesem Fall ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig vom Weg bzw. der Kurve g, also nur von Kurvenintegral und Kurvenintegral abhängig. Für geschlossene Kurven, d.h. Kurvenintegral, ergibt sich daraus die Erhaltung der durch das Kurvebintegral gegebenen physikalischen Grösse. Es gelten die folgenden Äquivalenzen:

das Kurvenintegral ist wegunabhängig

Kurvenintegral

F ist konservativ Kurvenintegral

F ist konservativ Kurvenintegral

F ist Gradientenfeld Kurvenintegral

Verwendet man statt Kurvenintegral den Körper Kurvenintegral, so nennt man das Kurvenintegral auch Kontourintegral. Ein interessantes Ergebnis ergibt sich, wenn g die einfach geschlossene Randkurve einer offenen orientierbaren Fläche ist und F stetig-differenzierbar ist. In diesem Fall gilt der Stokessche Satz:

Kurvenintegral

 

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