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Methode der konjugierten Gradienten

iteratives Verfahren zur Minimierung einer Funktion Methode der konjugierten Gradienten. Es ist auch für sehr grosse numerische Probleme geeignet, da es sehr effizient arbeitet. Diese Methode ist eine Methode des steilsten Abstiegs, vermeidet aber den dort auftretenden »Zick-Zack-Kurs« bei der Annäherung an das lokale Minimum, indem sie sich dem lokalen Minimum in einer Richtung nähert, die konjugiert zur vorherigen, aber auch möglichst konjugiert zu allen übrigen Richtungen ist, in denen das Verfahren abstieg. Das Verfahren verwendet, beginnend mit einem beliebigen Vektor g0 und Methode der konjugierten Gradienten im Laufe der Iteration zwei Folgen von Vektoren

Methode der konjugierten Gradienten

Methode der konjugierten Gradienten

die, bei exakter Kenntnis der Hesse-Matrix Methode der konjugierten Gradienten, für Methode der konjugierten Gradienten die folgenden Bedingungen für Orthogonalität und Konjugiertheit erfüllen:

Methode der konjugierten Gradienten

Methode der konjugierten Gradienten bezeichnet die Hesse-Matrix, d.h.

Methode der konjugierten Gradienten

Damit ergeben sich die Skalare

Methode der konjugierten Gradienten

und

Methode der konjugierten Gradienten

In der Praxis werden konjugierte Gradientenverfahren jedoch ohne Kenntnis von Methode der konjugierten Gradienten und Methode der konjugierten Gradienten ausgeführt. Statt dessen wird Methode der konjugierten Gradienten durch den Gradienten Methode der konjugierten Gradienten approximiert und der Vektor Methode der konjugierten Gradienten als Suchrichtung in einem Liniensuchverfahren zur Bestimmung von Methode der konjugierten Gradienten vom Punkt Methode der konjugierten Gradienten ausgehend in Richtung Methode der konjugierten Gradienten verwendet; sei Methode der konjugierten Gradienten die Lösung dieses Liniensuchschritts, so wird Methode der konjugierten Gradienten gesetzt und das Iterationsverfahren fortgeführt.

 

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