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reelle Zahlen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, reelle Zahlen, die Menge, die aus der Vervollständigung der rationalen Zahlen entsteht. Ausgangspunkt dieser Überlegungen ist die den antiken Griechen schon bekannte Tatsache, dass die Gleichung reelle Zahlen keine Lösung in reelle Zahlen besitzt; meist schreibt man die Lösung dieser Gleichung als reelle Zahlen. Eine mögliche Konstruktion von reelle Zahlen geht auf J.W.R. Dedekind zurück und beruht auf Dedekindschen Schnitten reelle Zahlen, wobei im Falle von reelle Zahlen reelle Zahlen und reelle Zahlen die positiven rationalen Zahlen enthalten, deren Quadrat kleiner bzw. grösser als reelle Zahlen ist, wobei die Elemente reelle Zahlen und reelle Zahlen beliebig gute untere und obere Schranken für reelle Zahlen liefern. Äquivalent hierzu sind Intervallschachtelungsverfahren, die im Grenzwert ebenfalls reelle Zahlen ergeben. Man kann sich die reellen Zahlen auch als Dezimalbrüche mit möglicherweise unendlich vielen Nachkommaziffern veranschaulichen. Jedem Dedekindschen Schnitt entspricht genau eine Trennungszahl; diese Eigenschaft heisst auch Ordnungsvollständigkeit. Eine andere Formulierung, die Vollständigkeit von reelle Zahlen auszudrücken, ist die Aussage, dass in reelle Zahlen jede Cauchy-Folge konvergiert, d.h. eine Folge reelle Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert reelle Zahlen, wenn es für jedes reelle Zahlen eine Zahl reelle Zahlen gibt, so dass für alle Folgenglieder mit Indizes reelle Zahlen reelle Zahlen gilt. Bei reelle Zahlen handelt es sich um einen geordneten und vollständigen Körper. Hinsichtlich seiner algebraischen Struktur ist festzuhalten, dass reelle Zahlen sich bezüglich der Addition (+) und Multiplikation (reelle Zahlen) wie eine abelsche Gruppe verhält; hinzu kommt das Distributivgesetz (reelle Zahlen). Die Ordnungsstruktur ist durch < und > und insbesondere durch das Trichotomiegesetz (für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen reelle Zahlen, reelle Zahlen oder reelle Zahlen), das Transitivitätsgesetz (reelle Zahlen und reelle Zahlen implizieren reelle Zahlen) und das Monotoniegesetz (reelle Zahlen impliziert reelle Zahlen und für jedes reelle Zahlen auch reelle Zahlen) gegeben. Eine Körpererweiterung von reelle Zahlen, die auch die Lösungen der Gleichung reelle Zahlen enthält, führt auf die komplexen Zahlen.

 

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