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Brüsselator

Beispiel eines System von vier gekoppelten chemischen Reaktionen, welches in Abhängigkeit von der Konzentration der Ausgangsstoffe zeitlich periodische Veränderungen der Konzentrationen der Zwischenprodukte aufweisen kann. Ebenso wie charakteristische Grössen in nichtlinearen Systemen mechanischer oder elektrische Natur können auch die zeitlichen Veränderungen der Konzentrationen in chemisch reagierenden Systemen Oszillationen zeigen. Der Brüsselator ist ein intensiv untersuchtes Beispiel für diese Erscheinung. Er umfasst die Reaktionen

Brüsselator,

Brüsselator,

Brüsselator und

Brüsselator

der Ausgangsstoffe A und B zu den Endprodukten D und E über die Zwischenprodukte X1 und X2, die ki, i = 1, . . . , 4 sind die Reaktionskonstanten. Durch die Substitutionen der Konzentrationen der beteiligten Stoffe durch die dimensionslosen Grössen

Brüsselator

sowie unter Berücksichtigung der dimensionslosen Zeit t = k4t erhält man das Differentialgleichungssystem

Brüsselator und

Brüsselator

(Prigogine-Lefever-Modell). Die Gleichgewichtslage des Systems (sein stationärer Zustand) ist bei X1 = A und X2 = B/A. Das Verhalten des Systems bei Fluktuationen, d.h. die zeitliche Veränderung der Konzentrationen X1 und X2 bei deren anfänglicher Auslenkung aus dieser Gleichgewichtslage, hängt entscheidend von der Ausgangskonzentration der Stoffe A und B ab. Es gibt vier unterschiedliche Bereiche in der A-B-Ebene:

Brüsselator,

Brüsselator,

Brüsselator und

Brüsselator.

Die Kurve B = A2 + 1 (stabiler Wirbel, Regime der ungedämpften Schwingung) trennt den stabilen vom instabilen Bereich. Unterhalb der Stabilitätsgrenze (im Bereich 3, stabiler Strudel) beobachtet man gedämpfte Schwingungen, mit welchen sich das System asymptotisch dem Gleichgewichtszustand annähert. Oberhalb, in der Zone 2 (instabiler Strudel), gibt es selbsterregte Schwingungen. Das sind periodische Veränderungen mit langsam wachsender Amplitude. Im Bereich 4 (stabiler Knoten) klingen Auslenkungen von der Gleichgewichtslage exponentiell ab, während sie im Bereich 1 (instabiler Knoten) ebenso anwachsen. [FE]

 

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