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Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Vektorkopplungskoeffizienten, Wigner-Koeffizienten, Vektorentwicklungskoeffizienten, die die Addition quantenmechanischer Drehimpulse bei der Kopplung zweier Drehimpulseigenvektoren beschreiben. Sind Clebsch-Gordan-Koeffizienten und Clebsch-Gordan-Koeffizienten Drehimpulseigenvektoren der kommutierenden Drehimpulsoperatoren Clebsch-Gordan-Koeffizienten und Clebsch-Gordan-Koeffizienten, wobei die Basis des gekoppelten Systems durch Clebsch-Gordan-Koeffizienten gegeben ist (zum Beispiel in einem Zweiteilchensystem), so koppeln diese wie folgt zu Eigenvektoren Clebsch-Gordan-Koeffizienten des Gesamtdrehimpulses Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Vektorentwicklungskoeffizienten Clebsch-Gordan-Koeffizienten werden als Clebsch-Gordan-Koeffizienten bezeichnet. Phasenfaktoren in der Linearkombination werden dabei so gewählt, dass die Clebsch-Gordan-Koeffizienten reell sind (Condon-Shortley-Konvention). Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind nur dann von null verschieden, falls Clebsch-Gordan-Koeffizienten und M = m1 + m2. Anstelle der Clebsch-Gordan-Koeffizienten verwendet man auch häufig die Wigner-3j-Symbole. Mit Hilfe dieser Symbole lassen sich die Symmetrieeigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten verdeutlichen, da sie sich bei Vertauschen der Spalten oder Ersetzen von mi durch  - mi bzw. M durch  - M mit dem Faktor Clebsch-Gordan-Koeffizienten multiplizieren.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelationen:

Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Clebsch-Gordan-KoeffizientenClebsch-Gordan-Koeffizienten  .

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten können durch folgenden Ausdruck berechnet werden:

Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Summe läuft dabei über alle n, so dass die Fakultäten immer definiert, also positiv, sind. Koppelt man mehr als zwei Drehimpulseigenvektoren, so werden die dabei auftretenden Summen von Produkten der Clebsch-Gordan-Koeffizienten durch die Racah-Koeffizienten W(abcdef) ausgedrückt, wobei a, b, c, d, e, f Drehimpulsquantenzahlen sind. (Drehimpuls) [MM1]

 

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