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Drehimpuls

Klassische MechanikQuantenmechanik 1) Mechanik: (veraltet: Drall, Impulsmoment), grundlegender Begriff der Mechanik des Massepunktes und des starren Körpers. Der Drehimpuls ist definiert als das Vektorprodukt Drehimpuls des Ortsvektors r bezüglich eines beliebigen Bezugsspunktes und des Impulses p. Er kann in der SI-Einheit N × m × s angegeben werden. Der Drehimpuls gehört zu den Bewegungsintegralen der Mechanik; für abgeschlossene, allgemein für beliebige rotationsinvariante Systeme ist er eine Erhaltungsgrösse (Drehimpulserhaltungssatz).

Der Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten ergibt sich als lineare Summe der Einzeldrehimpulse: Drehimpuls. Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Dichte r, z.B. für einen starren Körper, wird dies zu Drehimpuls, wobei Drehimpuls das aus dem Volumenelement dV und der Dichte r zusammengesetzte Massenelement ist. Im Schwerpunktsystem des Körpers kann man den Drehimpuls als Drehimpuls schreiben; V steht hier für den Trägheitstensor, w für den Vektor der Winkelgeschwindigkeit.

Im allgemeinen hängt der Drehimpuls vom Bezugssystem ab. Sind K und K ¢ zwei Bezugssysteme, deren Ursprünge um die Strecke a voneinander entfernt sind, so besteht zwischen den Ortsvektoren r und r ¢ ein und desselben Punktes die Beziehung r = r ¢ + a, und für den Drehimpuls ergibt sich Drehimpuls. Dabei ist Drehimpuls der Gesamtimpuls des Systems (Impuls). Der Drehimpuls ist somit nur dann unabhängig vom Bezugssystem, wenn der Gesamtimpuls P verschwindet, das System als Ganzes also ruht. Handelt es sich bei K und K ¢ um zwei Inertialsysteme, wobei K ¢ das Schwerpunktsystem sei, und bewegt sich das eine mit einer Geschwindigkeit  v  relativ zum anderen, so erhält man für den Gesamtdrehimpuls des Systems Drehimpuls (mit dem Ortsvektor R des Schwerpunktes). Der Gesamtdrehimpuls des Körpers in einem beliebigen Bezugssystem setzt sich also aus dem Eigendrehimpuls L ¢  (im Schwerpunktsystem) und dem von der Schwerpunktsbewegung als Ganzes herrührenden Bahndrehimpuls Drehimpuls zusammen.

In einer mehr mathematischen Betrachtungsweise kann der Drehimpuls als die infinitesimale Erzeugende der räumlichen Drehungen betrachtet werden, die die Lie-Gruppe SO(3) bilden; der Zusammenhang zwischen dieser Sichtweise und der obigen physikalischen Definition wird im Rahmen des Konzepts der kanonischen Transformationen (analytische Mechanik) offensichtlich.

2) Quantenmechanik: Durch Quantisierung, das heisst durch Ersetzen der Orts- und Impulskomponenten xi und pj durch hermitesche lineare Operatoren Drehimpuls, die den Vertauschungsrelationen Drehimpuls und Drehimpuls genügen, entstehen dadurch für die Komponenten Drehimpuls des Operators Drehimpuls, in der Quantenmechanik auch als Bahndrehimpulsoperator bezeichnet, die Vertauschungsrelationen Drehimpuls (eijk: Levi-Civita-Symbol). Die einzelnen Drehimpulskomponenten vertauschen also nicht miteinander; dies bedeutet, dass nicht alle drei Komponenten simultan gemessen werden können (siehe unten). Da in der Quantenmechanik auch andere Drehimpulsoperatoren, wie zum Beispiel der Spin, auftreten, muss der Begriff des Drehimpulses in der Quantenmechanik verallgemeinert werden. Man bezeichnet hier einen Operator Drehimpuls, dessen Komponenten Drehimpuls den Kommutationsrelationen Drehimpuls gehorchen, als Drehimpulsoperator. Die Operatoren Drehimpuls spannen eine Lie-Algebra, die sog. Drehimpulsalgebra, auf. Anhand der Kommutationsrelationen erkennt man, dass die Drehimpulsalgebra isomorph zu den Lie-Algebren Drehimpuls ist. Der einzige Casimir-Operator der Drehimpulsalgebra ist der Beltrami-Operator Drehimpuls.

In der Quantenmechanik werden häufig Systeme betrachtet, die eine Rotationssymmetrie besitzen; dann gilt Drehimpuls; D ist dabei eine Darstellung der Drehgruppe auf dem quantenmechanischen Hilbert-Raum H, R eine beliebige Drehung, also ein Element der zugrunde liegenden Drehgruppe (Darstellung einer Gruppe). Betrachtet man die stationäre Schrödinger-Gleichung Drehimpuls, wobei die Drehimpuls Eigenvektoren zum Energie-Eigenwert En sind, die durch i entartet sein können, so folgt aus der Invarianz des Systems unter Drehungen, dass die D(R)yn,i für eine beliebige Drehung R wieder Eigenvektoren zum Energie-Eigenwert En sind. Der durch Anwendung aller Drehungen D(R) auf yn,i erzeugte Raum besitzt eine irreduzible Darstellung der Drehgruppe, da er aufgrund seiner Konstruktion keine invarianten Unterräume bezüglich der Drehungen besitzt (Darstellung einer Gruppe). Aus diesem Grund interessiert sich die Physik für die irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe und somit für die irreduziblen Darstellungen der zugehörigen Drehimpulsalgebra.

Die irreduziblen Darstellungen der Drehimpulsalgebra werden nach Eigenwerten des Casimir-Operators Drehimpuls und der Cartan-Unteralgebra, die o.B.d.A. durch Drehimpuls aufgespannt wird, definiert. Physikalisch entspricht dies der Tatsache, dass aufgrund der Kommutationsrelationen die einzelnen Komponenten des Drehimpulsoperators nicht simultan messbar sind. Dagegen sind der Beltrami-Operator Drehimpuls und eine Komponente des Drehimpulsoperators Drehimpuls simultan messbar. Man wählt deshalb eine beliebige Drehimpulskomponente, üblicherweise Drehimpuls, aus und betrachtet eine Basis des Darstellungsraumes, die aus Eigenvektoren der Operatoren Drehimpuls und Drehimpuls bestehen. Die Eigenvektoren werden mit Drehimpuls bezeichnet, die den Eigenwertgleichungen Drehimpuls und Drehimpuls genügen, wobei man j als Drehimpulsquantenzahl und m als magnetische Quantenzahl bezeichnet; letztere Benennung stammt aus der Atomphysik. Man definiert die Leiteroperatoren Drehimpuls und Drehimpuls mit den Kommutationsrelationen Drehimpuls . Aus den Kommutationsrelationen folgt, dass Drehimpuls und Drehimpuls. Dabei gilt für die Quantenzahlen, dass Drehimpuls und m =  - j, - j + 1,...,j - 1, j. Somit ist jeder irreduzible Darstellungsraum, der durch eine Drehimpulsquantenzahl j beschrieben wird, (2j + 1)-fach entartet. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Richtungsentartung.

Wird jedoch die Rotationssymmetrie des physikalischen Systems beispielsweise durch ein äusseres Magnetfeld gebrochen, so kann der quantenmechanische Drehimpuls keine beliebigen Werte annehmen, sondern sich zu jeder Drehimpulsquantenzahl j nur in 2j + 1 verschiedene Richtungen einstellen (Richtungsquantisierung, Richtungsquantelung, räumliche Quantelung).

In der Ortsdarstellung hat der Bahndrehimpulsoperator die Form Drehimpuls, woraus sich in Kugelkoordinaten

Drehimpuls

und für den Beltrami-Operator

Drehimpuls

ergibt. Die zugehörigen Eigenvektoren Drehimpuls sind die Kugelflächenfunktionen Ylm(J,f), wobei nur ganzzahlige Drehimpulsquantenzahlen l, also Drehimpuls auftreten. Die halbzahligen Drehimpulsquantenzahlen werden in der Quantenmechanik durch den Spin beschrieben. Die Komponenten des Spinoperators Drehimpuls erfüllen ebenfalls die Kommutationsrelationen der Drehimpulsalgebra, haben jedoch die Eigenvektoren Drehimpuls mit halbzahligen Eigenwerten Drehimpuls. [MM1]

 

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