Techniklexikon

Fadejew-Gleichung

Quantenmechanik, Gleichung, die die numerische Lösung des quantenmechanischen Dreikörperproblems durch iterative Zusammenhänge zwischen verschiedenen Kanälen des Dreikörperproblems und Lösungen des Zweikörperproblems ermöglicht. Sei die Hamilton-Funktion aufgespalten in ein exakt lösbares H₀ und einen Wechselwirkungsterm V. Aus der Schrödinger-Gleichung (E - H₀ - V)Y = 0 ist die Lippmann-Schwinger-Gleichung T = V + VG₀T für die Transfer-Matrix T ableitbar (mit G₀ = (E - H₀)^-1). Für drei oder mehr Teilchen ist diese Gleichung jedoch analytisch nicht lösbar, da V in der Regel aus Paarpotentialen besteht und deshalb singuläre Delta-Funktionen für das jeweils dritte Teilchen enthält. Dieses Problem umgeht die Fadejew-Gleichung, indem sie die T-Matrix iterativ bestimmt:

,

wobei t_k =  V_k + V_kG₀t_k für das Zweiteilchenproblem gilt. In der obigen sog. AGS-Form stehen die Indizes i für freie Teilchen im Eingangskanal und j für freie Teilchen im Ausgangskanal. Der Summationsindex k läuft über Zweiteilchenzustände. Ein Beispiel: Das System (1) ¹⁶O + d kann als (2) ¹⁷O + p oder (3) ¹⁷F + n umgeordnet werden. T₁₂ ist die Transfer-Matrix der Reaktion ¹⁶O + d  ¹⁷O + p. Die erfolgreichste Verwendung der Fadejew-Gleichung umfasst Modellrechnungen von Atomkernstrukturen und Streuexperimenten mit leichten Kernen. Anwendungen in der Atomphysik oder in Quarkmodellen dagegen sind mühsam, da die Fadejew-Gleichung vor allem für kurzreichweitige Wechselwirkungen brauchbar ist.