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Faserbündel

QuantenmechanikMathematische Methoden und Computereinsatz, eine Mannigfaltigkeit B, die lokal wie ein kartesisches Produkt X ´ F von Mannigfaltigkeiten aussieht. Ein Faserbündel besteht aus einem Bündelraum B, einem Basisraum X, einer typischen Faser F, einer Lie-Gruppe G (Strukturgruppe des Bündels), einer glatten surjektiven Bündelprojektion p: B Faserbündel X und einer Linkswirkung r von G auf F, d.h. ein Gruppenhomomorphismus von G in die Gruppe Diff(F) der Diffeomorphismen von F. Es gibt eine offene Überdeckung (Ur) von X, so dass p-1(Ur) diffeomorph zu Ur ´ F ist über eine Bündelkarte oder lokale Trivialisierung

mit einer glatten Abbildung fr: p-1(Ur) Faserbündel F. Eine Bündelkarte identifiziert die Faser p-1(x) über x Î Ur mit der typischen Faser F. Zu je zwei Bündelkarten fr, fs mit Kartengebieten gibt es eine Übergangsfunktion

so dass für alle Punkte p in der Faser über x gilt

.

Für je drei Karten mit fr, fs, ft mit Ur Ç Us Ç Ut ¹ Faserbündel gilt die Kozykelbedingunggrs(x)gst(x) = grt(x).

Wichtige Typen von Faserbündeln sind die Vektorbündel und die Prinzipalbündel.

In der Theorie der Strahlensysteme spielen Faserbündel eine gewichtige Rolle. Das einfachste Beispiel eines Strahlensystems ist ein System von Normalen an eine Fläche im euklidischen Raum. In einer Umgebung einer glatten Fläche bildet das System der zugehörigen Normalen ein glattes Faserbündel; jedoch beginnen sich in einem gewissen Abstand von der Fläche verschiedene Normalen zu schneiden.

 

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