Mannigfaltigkeit
ein topologischer Raum, der lokal wie aussieht. Eine glatte Fläche oder Kurve im besitzt Eigenschaften, die es gestatten, auf
ihr Differentialrechnung zu betreiben. Diese Eigenschaften können intrinsisch,
d.h. unabhängig von einer Einbettung in , und für
beliebige Dimension angegeben werden. In einer n-dimensionalen
Mannigfaltigkeit oder n-Mannigfaltigkeit gibt es zu
jedem eine Umgebung U
und einen Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge V von . heisst eine Karte oder ein lokales
Koordinatensystem mit Kartenbereich U.
Beispielsweise besitzt jeder Punkt auf der Kugeloberfläche eine Umgebung, die
homöomorph ist zu einer offenen Teilmenge des . Ist X zusätzlich separabel und metrisierbar, nennt man X eine topologische oder -Mannigfaltigkeit.
Die Menge der Karten, die X überdecken, bilden
einen Atlas von X. Überlappen sich die Bereiche
zweier Karten und , kann man
die Kartenwechsel oder Koordinatentransformationen und betrachten. Diese sind nun Homöomorphismen von
offenen Teilmengen des . Sind alle
Kartenwechsel im Atlas sogar k-fach stetig
differenzierbar, also -Diffeomorphismen
von offenen Teilmengen des , heisst X eine -Mannigfaltigkeit.
Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine -Mannigfaltigkeit.
Ersetzt man den Modellraum durch einen Halbraum , so dass also
die Karten offene Teilmengen von X auf offene
Teilmengen von abbilden, wird X
eine Mannigfaltigkeit mit Rand . Von
Bedeutung sind auch -Mannigfaltigkeiten,
deren Kartenwechsel reell-analytisch sind, und komplexe Mannigfaltigkeiten, die
nach mit analytischen Kartenwechseln modelliert
sind. Für glatte Mannigfaltigkeiten , heisst eine Abbildung differenzierbar bei , wenn für
Karten , , und , , die
Abbildung differenzierbar ist. Aus Mannigfaltigkeiten
kann man neue Mannigfaltigkeiten konstruieren, z.B. durch Bildung von
Faserbündeln, insbesondere das Tangentialbündel . Die
Ableitung von f an der Stelle kann koordinatenfrei aufgefasst werden als eine
Abbildung der Tangentialräume, . In lokalen
Karten um und um nimmt sie die Form einer Jacobi-Matrix an (D ist die totale Ableitung von Abbildungen
von in ).
Mannigfaltigkeiten bilden die Grundlage der
Differentialgeometrie. Mit ihrer Hilfe lassen sich Vektorfelder, Tensorfelder
und Differentialformen definieren.
Beispiele:
a) ist eine n-Mannigfaltigkeit,
ebenso jede offene Teilmenge U des .
b) Die Sphären sind n-Mannigfaltigkeiten.
Die Kugeln sind n-Mannigfaltigkeiten
mit Rand .
c) Transformationsgruppen wie die Gruppe SO(3) der Drehungen
des , die
Lorentz-Gruppe, die Poincaré-Gruppe etc. sind Mannigfaltigkeiten.
d) Die Konfigurationsräume Q der
Mechanik sind Mannigfaltigkeiten. Die Karten eines Atlasses werden in diesem
Zusammenhang häufig als verallgemeinerte Koordinaten bezeichnet. Auch die
Phasenräume sind Mannigfaltigkeiten.
e) In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der
Kosmologie geht man davon aus, dass Raum und Zeit gemeinsam eine
4-Mannigfaltigkeit bilden, die nicht zum homöomorph sein muss.
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