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Mannigfaltigkeit

ein topologischer Raum, der lokal wie Mannigfaltigkeit aussieht. Eine glatte Fläche oder Kurve im Mannigfaltigkeit besitzt Eigenschaften, die es gestatten, auf ihr Differentialrechnung zu betreiben. Diese Eigenschaften können intrinsisch, d.h. unabhängig von einer Einbettung in Mannigfaltigkeit, und für beliebige Dimension angegeben werden. In einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit oder n-Mannigfaltigkeit gibt es zu jedem Mannigfaltigkeit eine Umgebung U und einen Homöomorphismus Mannigfaltigkeit auf eine offene Teilmenge V von Mannigfaltigkeit. Mannigfaltigkeit heisst eine Karte oder ein lokales Koordinatensystem mit Kartenbereich U. Beispielsweise besitzt jeder Punkt auf der Kugeloberfläche eine Umgebung, die homöomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Mannigfaltigkeit. Ist X zusätzlich separabel und metrisierbar, nennt man X eine topologische oder Mannigfaltigkeit-Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten, die X überdecken, bilden einen Atlas von X. Überlappen sich die Bereiche zweier Karten Mannigfaltigkeit und Mannigfaltigkeit, kann man die Kartenwechsel oder Koordinatentransformationen Mannigfaltigkeit und Mannigfaltigkeit betrachten. Diese sind nun Homöomorphismen von offenen Teilmengen des Mannigfaltigkeit. Sind alle Kartenwechsel im Atlas sogar k-fach stetig differenzierbar, also Mannigfaltigkeit-Diffeomorphismen von offenen Teilmengen des Mannigfaltigkeit, heisst X eine Mannigfaltigkeit-Mannigfaltigkeit. Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit-Mannigfaltigkeit. Ersetzt man den Modellraum Mannigfaltigkeit durch einen Halbraum Mannigfaltigkeit, so dass also die Karten offene Teilmengen von X auf offene Teilmengen von Mannigfaltigkeit abbilden, wird X eine Mannigfaltigkeit mit Rand Mannigfaltigkeit. Von Bedeutung sind auch Mannigfaltigkeit-Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel reell-analytisch sind, und komplexe Mannigfaltigkeiten, die nach Mannigfaltigkeit mit analytischen Kartenwechseln modelliert sind. Für glatte Mannigfaltigkeiten Mannigfaltigkeit, Mannigfaltigkeit heisst eine Abbildung Mannigfaltigkeit differenzierbar bei Mannigfaltigkeit, wenn für Karten Mannigfaltigkeit, Mannigfaltigkeit, und Mannigfaltigkeit, Mannigfaltigkeit, die Abbildung Mannigfaltigkeit differenzierbar ist. Aus Mannigfaltigkeiten kann man neue Mannigfaltigkeiten konstruieren, z.B. durch Bildung von Faserbündeln, insbesondere das Tangentialbündel Mannigfaltigkeit. Die Ableitung von f an der Stelle Mannigfaltigkeit kann koordinatenfrei aufgefasst werden als eine Abbildung der Tangentialräume, Mannigfaltigkeit. In lokalen Karten Mannigfaltigkeit um Mannigfaltigkeit und Mannigfaltigkeit um Mannigfaltigkeit nimmt sie die Form einer Jacobi-Matrix Mannigfaltigkeit an (D ist die totale Ableitung von Abbildungen von Mannigfaltigkeit in Mannigfaltigkeit).

Mannigfaltigkeiten bilden die Grundlage der Differentialgeometrie. Mit ihrer Hilfe lassen sich Vektorfelder, Tensorfelder und Differentialformen definieren.

Beispiele:

a) Mannigfaltigkeit ist eine n-Mannigfaltigkeit, ebenso jede offene Teilmenge U des Mannigfaltigkeit.

b) Die Sphären Mannigfaltigkeit sind n-Mannigfaltigkeiten. Die Kugeln Mannigfaltigkeit sind n-Mannigfaltigkeiten mit Rand Mannigfaltigkeit.

c) Transformationsgruppen wie die Gruppe SO(3) der Drehungen des Mannigfaltigkeit, die Lorentz-Gruppe, die Poincaré-Gruppe etc. sind Mannigfaltigkeiten.

d) Die Konfigurationsräume Q der Mechanik sind Mannigfaltigkeiten. Die Karten eines Atlasses werden in diesem Zusammenhang häufig als verallgemeinerte Koordinaten bezeichnet. Auch die Phasenräume sind Mannigfaltigkeiten.

e) In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der Kosmologie geht man davon aus, dass Raum und Zeit gemeinsam eine 4-Mannigfaltigkeit bilden, die nicht zum Mannigfaltigkeit homöomorph sein muss.

 

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