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Gruppe

Chemie, Physikalische Chemie, 1) Chemie: eine Zusammenfassung homologer chemischer Elemente, die im Periodensystem senkrecht untereinander stehen. Im allgemeinen unterscheidet man (nach der alten IUPAC-Empfehlung vor 1985) zwischen den Hauptgruppen (s- und p-Elemente) mit den Gruppennummern Ia bis VIIIa und den Nebengruppen der Übergangselemente (d-Elemente) mit den Gruppennummern Ib bis VIIIb und der inneren Übergangselemente (f-Elemente). Nach einer neuen Empfehlung der IUPAC (1985) werden die Gruppen des Langperiodensystems (ohne die inneren Übergangselemente) von 1 bis 18 durchnumeriert. Die Einteilung in Haupt- und Nebengruppen entfällt dann. Nach einem Vorschlag von F. Seel erhalten die inneren Übergangselemente die Gruppennummern 19 bis 32 (32-Gruppensystem).

2) Mathematik: eine Menge G, die folgenden Forderungen genügt:

a) Für jedes Paar von Elementen x, y Î G ist eine Verknüpfung o erklärt, deren Ergebnis x o y in G enthalten ist.

b) Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h., (xoy) oz = xo(yoz).

c) Es existiert stets ein Einselement e Î G, so dass für alle x Î G gilt eox = xoe = x.

d) Jedes Element x Î G hat ein inverses Element x-1 Î G, so dass gilt xox-1 = e oder x-1ox = e.

Im allgemeinen gilt für die Verknüpfung nicht das Kommutativgesetz, d.h. yox ¹ yox. Eine Gruppe A, in der xoy = yox für alle x, y Î A gilt, heisst abelsche Gruppen. In jeder endlichen Gruppe gibt ihre Ordnung die Anzahl ihrer Elemente an.

Zuordnungen von Gruppen: Eine Gruppe G wird in eine Gruppe G¢ homomorph abgebildet, wenn bei dieser die Gruppenoperation erhalten bleibt, d.h., wenn aus x, y ÎG und x¢, y¢ Î G¢ folgt (xoy)¢ = x¢oy¢. Die Menge aller Elemente von G, die in das Einselement e¢ der Gruppe G¢ abgebildet wird, nennt man den Kern des Homomorphismus; er ist ein Normalteiler der Gruppe G (s.u.). Ist die Abbildung von G in G¢ umkehrbar eindeutig, so spricht man von einem Isomorphismus. Ein spezieller, der natürliche Isomorphismus, besteht zwischen der Gruppe G¢, auf die G homomorph abgebildet wird, und der Faktorgruppe G / N. Spezialfälle der Isomorphismen sind die Automorphismen, bei denen isomorphe Abbildungen der Gruppe auf sich selbst betrachtet werden.

Untergruppe, Klasse, Restklasse: Eine Gruppe G¢ Í G heisst Untergruppe von G, wenn G¢ eine Gruppe ist. Das Einselement
e Î G und G selbst werden als uneigentliche oder triviale Untergruppe bezeichnet, alle anderen Untergruppen heissen echte Untergruppen. Die wichtigsten Untergruppen sind die invarianten Untergruppen oder Normalteiler G¢, die für alle x Î G die Eigenschaft xG¢x-1 = G¢ haben. Eine einfache Gruppe enthält keinen Normalteiler im Sinne einer echten Untergruppe.

Mit Hilfe der Untergruppen kann man Zerlegungen der vorgegebenen Gruppen definieren. Ist G¢ eine Untergruppe von G, so erhält man die Zerlegung von G nach G¢ in linksseitige Rest- oder Nebenklassen, indem man die Mengen G¢, x1oG¢, x2oG¢,...,xnoG¢, ... bildet und dabei die xi so auswählt, dass sie nicht in G¢ und auch nicht in xjoG¢ für i > j enthalten sind. Analog werden die rechtsseitigen Nebenklassen gebildet, indem man die Elemente von G¢ von rechts mit entsprechenden Elementen yk multipliziert. Die Nebenklassen sind, abgesehen von G¢, keine Untergruppen. Nebenklassen einer Zerlegung haben nach ihrer Bildungsvorschrift keine gemeinsamen Elemente. Die Mächtigkeit jeder Nebenklasse ist der Mächtigkeit der Untergruppe G¢ gleich. Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung n und hat G¢ die Ordnung n¢, so ist n¢ Teiler von n, und es ist n / n¢ = m, wenn m die Anzahl der betreffenden Nebenklassen ist; m nennt man auch den Index der Untergruppe G¢. Offensichtlich können Gruppen, deren Ordnung gleich einer Primzahl ist, keine nichttrivialen Untergruppen haben. Ist die Untergruppe G¢ Normalteiler, dann fallen die rechtsseitigen Nebenklassen mit den linksseitigen zusammen. Die Nebenklassen bilden dann selbst eine Gruppe, die als Faktorgruppe G / G¢ bezeichnet wird; offenbar hat die Faktorgruppe die Ordnung m.

Eine weitere Klasseneinteilung gewinnt man, wenn man die Elemente jeweils zusammenfasst, die im folgenden Sinne zueinander äquivalent (man sagt auch konjugiert) sind: x ist äquivalent zu y, x ~ y, wenn ein Element z Î G existiert, so dass x = zoyoz-1 ist. Offenbar sind dadurch die drei Bedingungen einer echten Äquivalenzrelation erfüllt, denn 1) gilt x ~ x, 2) aus x ~ y folgt y ~ x und 3) aus x ~ y und y ~ z folgt x ~ z. Alle Elemente, die zueinander äquivalent sind, gehören zur selben Klasse. Die Klassen sind elementfremd. Ist x Î G, so ist GxG-1 die zu x gehörige Klasse. Offenbar besteht die Klasse des Einselements nur aus diesem selbst. Bei abelschen Gruppen bildet jedes Element eine Klasse. Schliesslich ist die Anzahl der Elemente einer Klasse Teiler der Ordnung der Gruppe.

Eine Gruppe von Matrizen, zu der eine vorgegebene Gruppe homomorph ist, heisst Darstellung einer Gruppe.

In der Physik dient die Gruppentheorie als wichtiges Hilfsmittel zur Beschreibung der Symmetrien und der daraus folgenden Invarianzen, die auf die Eigenschaften der Wechselwirkungen physikalischer Systeme und deren besondere Struktur bzw. Anordnung zurückgeführt werden können. Jeder derartigen Symmetrie entspricht eine endliche oder unendliche Menge von Symmetrietransformationen, d.h. Bewegungen, Verschiebungen oder Drehungen um endliche oder infinitesimale Strecken bzw. Winkel in Raum und Zeit oder auch allgemeiner definierten mathematischen Räumen, die eine diskrete oder stetige Transformationsgruppe bilden, d.h. 1) hintereinander ausgeführte, zur gleichen Symmetrie gehörenden Transformationen bilden wieder eine zulässige Symmetrietransformation, 2) eine Symmetrietransformation kann rückgängig gemacht werden (mittels der jeweils inversen Transformation) usw. Das Studium der physikalischen Symmetrien kann daher durch das Studium der zugehörigen Transformationsgruppen ersetzt werden; ferner müssen die Lösungen der die physikalischen Systeme beschreibenden Grundgleichungen, die diese System widerspiegeln, spezielle Darstellungen der zugehörigen Gruppe sein, wodurch sich die grosse Wichtigkeit der Darstellungstheorie für die Physik erklärt.

 

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