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Jacobi-Verfahren

numerisches Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte bzw. zur Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix. Das Jacobi-Verfahren besteht aus einer Folge von Ähnlichkeitstransformationen (Jacobi-Rotation), in denen jeweils ein Nichtdiagonalelement eliminiert wird. Im klassischen Jacobi-Verfahren bestimmt man in jedem Iterationsschritt k das betragsmaximale Nichtdiagonalelement Jacobi-Verfahren, eliminiert Jacobi-Verfahren mit einer Jacobi-Rotation und erhält eine zur Matrix Jacobi-Verfahren im k-ten Iterationsschritt orthogonal ähnliche Matrix

Jacobi-Verfahren

Zwar können annulierte Nichtdiagonalelemente im Laufe der Iteration wieder zu Null werden, aber es lässt sich beweisen, dass in jedem Iterationsschritt die Summe der Quadrate aller Nichtdiagonalelemente monoton fallend ist, gegen Null konvergiert und somit auch gilt: Jacobi-Verfahren. Es lässt sich zeigen, dass die Diagonalelemente Jacobi-Verfahren gegen die Eigenwerte von Jacobi-Verfahren konvergieren.

 

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