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Eigenwert

zu einer linearen Selbstabbildung A eines Vektorraumes ein Wert l, der so beschaffen ist, dass die Eigenwertgleichung Ax = lx Lösungen mit x ¹ 0 besitzt. Die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms pA(l) = det(A - lI) mit der entsprechenden Einheitsmatrix I. Die Lösungen x zu einem gegebenen Eigenwert l heissen dann Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Der von den Eigenvektoren zu einem Eigenwert aufgespannte Unterraum heisst Eigenraum zu diesem Eigenwert, und seine Dimension wird geometrische Vielfachheit (Entartungsgrad) des Eigenwertes genannt. Wenn diese eins ist, kann der Eigenraum durch einen einzigen Eigenvektor repräsentiert werden. Ist sie grösser als eins, wird der Eigenwert als entartet bezeichnet, in diesem Fall muss der Eigenraum durch eine Basis von Eigenvektoren zum selben Eigenwert dargestellt werden. In einem n-dimensionalen Vektorraum kann A bis zu n Eigenwerte besitzen. Trifft dies zu, dann bilden die Eigenvektoren zu den Eigenwerten eine Basis des Vektorraumes, bezüglich der die Abbildung A als Diagonalmatrix dargestellt wird. Ist A symmetrisch bzw. hermitesch, dann sind die Eigenwerte alle reell, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. In Anwendungen sind Eigenwerte und Eigenvektoren insbesondere für die Diagonalisierung von A von Interesse, d.h. für die Suche nach einem für die Darstellung von A besonders geeigneten Koordinatensystem. Eigenwert-Differentialgleichungen, bei denen A ein Differentialoperator und x eine Funktion ist, treten bei der Variablentrennung partieller Differentialgleichungen auf und spielen in der Quantenmechanik eine grosse Rolle.

 

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