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Diagonalisierung

Mathematische Methoden und Computereinsatz, orthogonale bzw. unitäre Transformation einer Matrix, vermittels derer diese zu einer Diagonalmatrix wird. Symmetrische Matrizen S können durch orthogonale Transformationen, hermitesche Matrizen H durch unitäre Transformationen diagonalisiert werden. Die Matrix O bzw. U, welche die hierfür erforderliche orthogonale bzw. unitäre Transformation beschreibt, enthält die orthonormierten Eigenvektoren von S bzw. H als Spaltenvektoren. Es ist dann Dij = (U†HU)ij = (OTSO)ij = lidij; die entstehende Diagonalmatrix enthält die Eigenwerte von S bzw. H als Diagonalelemente.

Die Diagonalisierung bedeutet den Übergang zu einem geeigneteren Koordinatensystem. Der Trägheitstensor wird beispielsweise durch eine symmetrische 3 ´ 3-Matrix dargestellt. Die Eigenwerte des Trägheitstensors heissen Hauptträgheitsmomente, die Eigenvektoren sind die Hauptachsen, und die Diagonalisierung des Trägheitstensors wird Hauptachsentransformation genannt. Die Untersuchung gekoppelter Schwingungen in linearer Näherung führt auf ein System von n linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, wobei n die Zahl der Freiheitsgrade ist. Die Differentialgleichungen können durch Diagonalisierung der Koeffizientenmatrix entkoppelt werden. Die Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix ergeben die Normalschwingungen, aus den Eigenwerten resultieren die zugehörigen Schwingungsfrequenzen. In der Quantenmechanik sucht man zu hermiteschen Operatoren dasjenige System von Basisfunktionen, vermittels dessen die Matrixdarstellung des Operators diagonal wird. Die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren heissen dann Spektrum bzw. Eigenzustände des Operators.

 

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