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komplexe Zahlen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, eine Erweiterung des Körpers komplexe Zahlen der reellen Zahlen, die insbesondere das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen ermöglicht. Die komplexen Zahlen komplexe Zahlen bestehen aus Realteil komplexe Zahlen und Imaginärteil komplexe Zahlen, wobei komplexe Zahlen ist und lassen sich auf diese Weise in der komplexen Zahlenebene (Gausssche Zahlenebene) isomorph zum Vektorraum komplexe Zahlen abbilden. Der Körper komplexe Zahlen der komplexen Zahlen beinhaltet komplexe Zahlen als Unterkörper. Mit Hilfe der Eulerschen Formel

komplexe Zahlen

 lässt die Darstellung der komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene, die wiederum isomorph zum Vektorraum komplexe Zahlen ist, auch eine anschauliche geometrische Interpretation im Sinne polarer Koordinaten zu: komplexe Zahlen ist der Betrag der komplexen Zahl z bzw. des Vektors komplexe Zahlen und komplexe Zahlen ist das Argument bzw. die Phase. Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als

komplexe Zahlen,

wobei komplexe Zahlen die zu z komplex-konjugierte Zahl genannt wird. komplexe Zahlen folgt für komplexe Zahlen aus

komplexe Zahlen

Aus z und komplexe Zahlen lassen sich vermöge der Definition von z und komplexe Zahlen Real- und Imaginärteil einfach darstellen als

komplexe Zahlen.

Gleichung (*) ermöglicht in einfacher Weise die Potenzierung komplexer Zahlen nach der Moivre-Formel

komplexe Zahlen. Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen genügt den Rechenregeln komplexe Zahlen. Die Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz unter Beachtung von komplexe Zahlen:

komplexe Zahlen.

Die zu z inverse Zahl komplexe Zahlen ist komplexe Zahlen, woraus die Regel zur Division folgt:

komplexe Zahlen.

 

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