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numerische Differentiation

Mathematische Methoden und Computereinsatz, die numerische Berechnung von Ableitungen. Im einfachsten Fall ist die erste Ableitung numerische Differentiation zu ermitteln, die für eine vorgegebene, hinreichend kleine Zahl numerische Differentiation wegen der Definition der Ableitung als numerische Differentiation intuitiv auf die (asymmetrische) Näherung

numerische Differentiation

führt, d.h. der Differentialquotient wird durch den Differenzenquotienten ersetzt. Wegen des Rundungs- und Abbruchfehlers (Diskretisierungsfehler) ist diese Operation kaum empfehlenswert. Die Taylor-Reihenentwicklung

numerische Differentiation

zeigt nämlich, dass der Abbruchfehler numerische Differentiation linear in numerische Differentiation ist. Hingegen ist der Abbruchfehler bei der (symmetrischen) Approximation (Verwendung zentraler Differenzen) }

numerische Differentiation

nur von der Grössenordnung numerische Differentiation. Die numerische Differentiation und ihre Anwendungen auf höhere oder partielle Ableitungen lässt sich allgemein mit Hilfe des Operators numerische Differentiation mit numerische Differentiation, numerische Differentiation und

numerische Differentiation

beschreiben; alternativ ergibt sich bei Verwendung zentraler Differenzen numerische Differentiation und numerische Differentiation noch die Beziehung

numerische Differentiation

Beispiel: Die Taylor-Reihenentwicklung von numerische Differentiation ergibt

numerische Differentiation

und bei Abbruch nach dem ersten Term schliesslich

numerische Differentiation

bzw. in zentralen Differenzen

numerische Differentiation

Der Abbruch nach dem zweiten Term der Taylorreihe liefert hingegen numerische Differentiation mit

numerische Differentiation

und somit schliesslich

numerische Differentiation

allerdings ist diese Näherung der symmetrischen Approximation unterlegen; bei beiden wächst der Approximationsfehler zwar mit numerische Differentiation, (*) hat jedoch den kleineren Vorfaktor. Die zweite Ableitung folgt mit numerische Differentiation zu

numerische Differentiation

bzw. bei Abbruch nach numerische Differentiation

numerische Differentiation

Wegen des Rundungsfehlers und möglicher Auslöschung von Ziffern durch Differenzbildung ist die Wahl von numerische Differentiation sehr kritisch. Bezeichnet numerische Differentiation die relative Genauigkeit, mit der numerische Differentiation berechnet wird, so sollte bei der symmetrischen Approximation von numerische Differentiation das Inkrement numerische Differentiation als

numerische Differentiation

gewählt werden.

Eine numerische effiziente Berechnung der Ableitung kann man in analoger Weise zum Romberg-Verfahren durch Extrapolation gewinnen.

 

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