Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, Pitchfork Bifurcation, Kodimension-1-Bifurkation (Bifurkation) eines stabilen Fixpunktes mit Variation eines Parameters m. In diskreten oder kontinuierlichen dynamischen Systemen ist eine Gabelbifurkation nicht generisch, da eine spezielle Symmetrie vorliegen muss. Ein dynamisches System
mit
eindimensionalem Parameter m habe bei m = 0 die Ruhelage x* = 0. Hat die Jacobi-Matrix
nur einen Eigenwert mit Realteil null (eindimensionale
Zentrumsmannigfaltigkeit), so wird das Bifurkationsverhalten durch ein
eindimensionales dynamisches System erfasst (Abb.). Im Falle der
Gabelbifurkation hat dieses reduzierte System die Form . Für
findet man einen
stabilen Fixpunkt x*
= 0, der
für m
> 0 instabil wird, wobei zwei neue symmetrisch gelegene Fixpunkte
entstehen (Abb.). Ein
analoges Verhalten existiert auch für iterierte Abbildungen. Liegt die erwähnte
Symmetrie nicht vor, so findet man typischerweise eine Tangentenbifurkation
(Sattel-Knoten-Bifurkation).
Gabelbifurkation: Das Bifurkationsdiagramm für eine Gabelbifurkation beschreibt Lage und Charakter der beteiligten Fixpunkte als Funktion eines Kontrollparameters m. Der Ort der (des) attraktiven Fixpunkte(s) ist durch volle, die des instabilen Fixpunktes durch gestrichelte Linien gekennzeichnet.
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