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Gauss-Quadratur

Mathematische Methoden und Computereinsatz, eines von mehreren Verfahren zur numerischen Berechnung eines eindimensionalen bestimmten Integrals  auf der Basis einzelner Funktionswerte des Integranden. Solche Verfahren versuchen, das Integral in der Form

mit bestimmten Stützstellen xkn und Koeffizienten Hkn zu approximieren. Bei der Gauss-Quadratur führt man zunächst die Integration über das Intervall [a, b] auf eine Integration über das Standardintervall [-1, 1] zurück. Dann sind die Koeffizienten Hkn und die Stützstellen xkn so zu bestimmen, dass die obige Formel für alle Polynome bis zu einem möglichst hohen Grad p exakt wird. Das führt auf p + 1 Bedingungsgleichungen

.

Als Stützstellen ergeben sich daraus die Nullstellen der Legendre-Polynome Pm(x) und als Koeffizienten (Tabelle)

.

Die Gauss-Quadratur eignet sich immer dann, wenn die Funktion analytisch oder hinreichend dicht tabelliert gegeben ist. In anderen Fällen muss auf einfachere, aber auch ungenauere Verfahren zurückgegriffen werden.

Gauss-Quadratur: Einige beispielhafte Werte der Stützstellen und Koeffizienten.

n = 2

x12 = -x22 = 0,57735, H12 = H22 = 1,

n = 3

x13 = -x33 = 0,77460, x23 = 0,
H
13 = H33 = 5 / 9, H23 = 8 / 9,

n = 4

x14 = -x44 = 0,86114, x24 = -x34 = 0,33998, H14 = H44 = 0,34785, H24 = H34 = 0,65215.

 

 

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