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Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

Hamiltonsche partielle Differentialgleichung, partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion S = S(qj, t) der f + 1 Variablen qj (j = 1,...,f) und t der Form S / t + H(q, S / q, t) = 0. Die Funktion H wird Hamilton-Funktion genannt und kann im Falle H / t = 0 als Gesamtenergie eines mechanischen Systems interpretiert werden. Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung ist den Hamiltonschen kanonischen Gleichungen für die verallgemeinerten Koordinaten qj und die verallgemeinerten Impulse pj = S / qj äquivalent, da sie einer kanonischen Transformation der Hamilton-Funktion auf zyklische Koordinaten und Impulse entspricht (Hamiltonsche kanonische Theorie, Analytische Mechanik); S(q1, t) ist dabei die von den Endlagen der verallgemeinerten Koordinaten zur Zeit t abhängende Wirkung.

Wegen ihrer grossen physikalischen Bedeutung wurde für diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung eine ausgedehnte mathematische Lösungstheorie entwickelt. Danach folgen sämtliche Charakteristiken der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung aus einer (f - 1)-parametrigen Lösungsschar qj = qj0(xj, t), pj = pj0(xi, t) dieses Differentialgleichungssystems, wenn die mit qj0 und pj0 gebildeten Lagrangeschen Klammern

Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

sind und die Funktionaldeterminante

Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

ist.

Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung folgt nach Einführung kanonisch konjugierter Variablen aus einem inhomogenen Variationsproblem (Variationsrechnung) mit H(qi, pj, t) als Grundfunktion:

Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

Ist S = s(qj, t) eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung, so bilden die orthogonalen Trajektorien der durch s = s0 = const. definierten Flächenschar ein Feld von Extremalen des obigen Variationsproblems.

 

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