Techniklexikon

Hamilton-Jacobische Differentialgleichung

Hamiltonsche partielle Differentialgleichung, partielle Differentialgleichung erster Ordnung für eine Funktion S = S(q_j, t) der f + 1 Variablen q_j (j = 1,...,f) und t der Form ¶S / ¶t + H(q, ¶S / ¶q, t) = 0. Die Funktion H wird Hamilton-Funktion genannt und kann im Falle ¶H / ¶t = 0 als Gesamtenergie eines mechanischen Systems interpretiert werden. Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung ist den Hamiltonschen kanonischen Gleichungen für die verallgemeinerten Koordinaten q_j und die verallgemeinerten Impulse p_j = ¶S / ¶q_j äquivalent, da sie einer kanonischen Transformation der Hamilton-Funktion auf zyklische Koordinaten und Impulse entspricht (Hamiltonsche kanonische Theorie, Analytische Mechanik); S(q₁, t) ist dabei die von den Endlagen der verallgemeinerten Koordinaten zur Zeit t abhängende Wirkung.

Wegen ihrer grossen physikalischen Bedeutung wurde für diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung eine ausgedehnte mathematische Lösungstheorie entwickelt. Danach folgen sämtliche Charakteristiken der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung aus einer (f - 1)-parametrigen Lösungsschar q_j = q_j⁰(x_j, t), p_j = p_j⁰(x_i, t) dieses Differentialgleichungssystems, wenn die mit q_j⁰ und p_j⁰ gebildeten Lagrangeschen Klammern

sind und die Funktionaldeterminante

ist.

Die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung folgt nach Einführung kanonisch konjugierter Variablen aus einem inhomogenen Variationsproblem (Variationsrechnung) mit H(q_i, p_j, t) als Grundfunktion:

Ist S = s(q_j, t) eine zweimal stetig differenzierbare Lösung der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung, so bilden die orthogonalen Trajektorien der durch s = s₀ = const. definierten Flächenschar ein Feld von Extremalen des obigen Variationsproblems.