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Laplace-Transformation

Integraltransformation, die besonders zur Lösung linearer gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme geeignet ist. Solche treten z.B. auf bei der Analyse elektrischer Schaltkreise oder zur Beschreibung von Kompartment-Modellen in der Pharmakokinetik. Durch Anwendung der Laplace-Transformation wird das Differentialgleichungssystem in ein algebraisches Problem überführt; nach Lösung des algebraischen Problems und häufig nach Partialbruchzerlegungen wird mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation die Lösung des ursprünglichen Differentialgleichungssystems konstruiert. Die Laplace-Transformation Laplace-Transformation einer stückweise stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion Laplace-Transformation, die einer exponentiellen Wachstumbeschränkung Laplace-Transformation unterliegt, ist definiert als

Laplace-Transformation 

Entsprechend ist die inverse Laplace-Transformation definiert als Laplace-Transformation. Wegen der Eigenschaften des Integrals ist auch Laplace-Transformation ein linearer Operator, d.h. es gilt

Laplace-Transformation

Nützlich ist auch die Verschiebungseigenschaft Laplace-Transformation. Die Laplace-Transformation Laplace-Transformation der n-ten Ableitung einer Funktion Laplace-Transformation ist

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation eines Integrals ist dagegen

Laplace-Transformation

Die Eigenschaft

Laplace-Transformation

ist als Faltungssatz bekannt, d.h. wie bei der Fourier-Transformation entspricht dem Faltungsprodukt im ursprünglichen Bereich das gewöhnliche Produkt im Bildbereich. Schliesslich sei noch die Eigenschaft

Laplace-Transformation

genannt. Ist Laplace-Transformation eine für Laplace-Transformation holomorphe Funktion, konvergiert Laplace-Transformation gleichmässig bezüglich arg s, und ist das Integral Laplace-Transformation beschränkt, so ist Laplace-Transformation Laplace-Transformation der Funktion

Laplace-Transformation

Der damit verbundene Integraloperator wird inverse Laplace-Transformation genannt.

 

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