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Fourier-Transformation

Schwingungen und WellenMathematische Methoden und Computereinsatz, eine Integraltransformation, die einer Funktion f(t) ihre Fourier-Transformierte (Spektralfunktion, Frequenzspektrum) F(w) in Form des Fourier-Integrals

zuordnet. Der Übergang von F nach f wird als inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Die Fourier-Integrale sind also das kontinuierliche Analogon der Fourier-Reihen. Voraussetzung für die Existenz der Fourier-Transformierten ist, dass die Funktion f von bis absolut integrierbar ist, d.h. f muss einschliesslich seiner Ableitungen im Unendlichen schneller als 1 / |t| verschwinden ( existiert) und darf auf jedem endlichen Intervall nur endlich viele Minima und Maxima besitzen (Dirichlet-Bedingung).

Aus der Definition der Fourier-Transformation lassen sich die in Tab. 1 zusammengefassten Symmetrieeigenschaften sowie die in Tab. 2 zusammengestellten Rechenregeln herleiten.

Die Fourier-Transformation lässt sich auch für mehrdimensionaleFunktionen definieren. Ist f(t) eine Funktion der n Variablen t = (t1, ..., tn), so hängt auch ihre Fourier-Transformierte von n Variablen w = (w1, ..., wn) ab. Es gilt dann ,

wobei das Intgral über den ganzen Raum zu nehmen ist. Für die Rücktransformation hat man

.

Die Fourier-Transformation hat zahlreiche Anwendungen in Physik und Mathematik, z.B. bei der Lösung von Differentialgleichungen, in der Elektrotechnik oder in der Quantenmechanik, wo sie den Übergang zwischen Impuls- und Ortsraum beschreibt. [JS1, UK]

Fourier-Transformation 1: Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformation.

Wenn f(t)

dann gilt

reell

F(-w) = F(w)

imaginär

F(-w) = -F(w)

gerade

F(w) gerade

ungerade

F(w) ungerade

reell und gerade

F(w) reell und gerade

reell und ungerade

F(w) imaginär und ungerade

imaginär und gerade

F(w) imaginär und gerade

imaginär und ungerade

F(w) reell und ungerade

 

Fourier-Transformation 2: Einige Rechenregeln zur Fourier-Transformation.

f(t)

F(w)

 

f(t-a)

F(w) exp(-iwa)

Verschiebesatz

f(w0t)

1 / w0F(w / w0)

Ähnlichkeitssatz

df / dt

iw F(w)

 

d(t)

1 / 2p

 

exp(iw0t)

d(w - w0)

 

f(t) × g(t)

F(w) * G(w)

Faltungssatz

f(t) * g(t)

F(w) × G(w)

Faltungssatz

 

 

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