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lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme der Form

lineare Gleichungssysteme

mit einer Matrix lineare Gleichungssysteme und Vektoren lineare Gleichungssysteme. Bezeichnet man mit lineare Gleichungssysteme die erweiterte Koeffizientenmatrix, die entsteht, indem man den Spaltenvektor b zu lineare Gleichungssysteme als Spalte hinzufügt, so ist der Lösungsraum genau dann nicht leer, wenn lineare Gleichungssysteme gilt. Im Falle lineare Gleichungssysteme (lineare Gleichungssysteme) spricht man von einem unterbestimmten (überbestimmten) linearen Gleichungssystem, wobei lineare Gleichungssystemedie Zahl der linear unabhängigen Zeilen von lineare Gleichungssysteme ist. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme können nur im Sinne linearer Ausgleichsprobleme und der Methode der kleinsten Quadrate gelöst werden. Für lineare Gleichungssysteme mit lineare Gleichungssysteme und lineare Gleichungssysteme bzw. von Null verschiedener Determinante lineare Gleichungssysteme existiert eine eindeutige Lösung von (1). Diese kann man z.B. mit Hilfe der inversen Matrix lineare Gleichungssysteme darstellen: lineare Gleichungssysteme, oder mit Hilfe der Cramerschen Regel bestimmen; in der Praxis wird dies jedoch vermieden, da es numerisch effizientere Möglichkeiten gibt, (1) zu lösen: Gauss-Elimination, Gauss-Jordan-Verfahren. Im Fall lineare Gleichungssysteme und lineare Gleichungssysteme können mehrere oder gar keine Lösung existieren. Im allgemeinen Fall lineare Gleichungssysteme bildet die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems lineare Gleichungssysteme einen Untervektorraum der Dimension lineare Gleichungssysteme. Die Lösung kann durch lineare Gleichungssysteme parametrisiert werden, d.h. lineare Gleichungssysteme; diese Parametrisierung kann durch Anwendung der Gauss-Elimination auf lineare Gleichungssysteme gewonnen werden. Existiert eine spezielle Lösung lineare Gleichungssysteme des inhomogenen linearen Gleichungssystems (1), so kann durch Translation die gesamte Lösung lineare Gleichungssysteme erzeugt werden. Wie der Fall lineare Gleichungssysteme verdeutlicht, kann es allerdings vorkommen, dass das inhomogene System eine unendliche Zahl von Lösungen, dass inhomogene System jedoch keine besitzt.

 

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