Techniklexikon

lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme der Form

mit einer Matrix  und Vektoren . Bezeichnet man mit  die erweiterte Koeffizientenmatrix, die entsteht, indem man den Spaltenvektor b zu  als Spalte hinzufügt, so ist der Lösungsraum genau dann nicht leer, wenn  gilt. Im Falle  () spricht man von einem unterbestimmten (überbestimmten) linearen Gleichungssystem, wobei die Zahl der linear unabhängigen Zeilen von  ist. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme können nur im Sinne linearer Ausgleichsprobleme und der Methode der kleinsten Quadrate gelöst werden. Für lineare Gleichungssysteme mit  und  bzw. von Null verschiedener Determinante  existiert eine eindeutige Lösung von (1). Diese kann man z.B. mit Hilfe der inversen Matrix  darstellen: , oder mit Hilfe der Cramerschen Regel bestimmen; in der Praxis wird dies jedoch vermieden, da es numerisch effizientere Möglichkeiten gibt, (1) zu lösen: Gauss-Elimination, Gauss-Jordan-Verfahren. Im Fall  und  können mehrere oder gar keine Lösung existieren. Im allgemeinen Fall  bildet die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems  einen Untervektorraum der Dimension . Die Lösung kann durch  parametrisiert werden, d.h. ; diese Parametrisierung kann durch Anwendung der Gauss-Elimination auf  gewonnen werden. Existiert eine spezielle Lösung  des inhomogenen linearen Gleichungssystems (1), so kann durch Translation die gesamte Lösung  erzeugt werden. Wie der Fall  verdeutlicht, kann es allerdings vorkommen, dass das inhomogene System eine unendliche Zahl von Lösungen, dass inhomogene System jedoch keine besitzt.