A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

 

 

lineare Kette

Klassische Mechanik, einfaches Modell zur Behandlung charakteristischer Eigenschaften der Gitterschwingungen. Der Aufbau eines Kristalls wird dabei vereinfacht dargestellt durch eine eindimensionale Anordnung von Massen, zwischen denen Kräfte wirken. Diese wirken einer Auslenkung aus der Ruhelage entgegen.

Ein Spezialfall der linearen Kette ist die AA-Kette mit gleichen Massen und gleichen Kraftkonstanten. Hier sind lineare Kette identische Massen lineare Kette in einem Abstand lineare Kette durch die Kraftkonstante lineare Kette miteinander gekoppelt (Abbildung 1). Für die Auslenkungen lineare Kette der Masse lineare Kette sollen zyklische Randbedingungen gelten: lineare Kette mit lineare Kette. Damit beschreibt man Kristalle mit nur einem Atom in der Einheitszelle. Mit der Annahme, dass jeweils nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, ergibt sich für die Auslenkung lineare Kette der komplexe Lösungsansatz einer monochromatischen Welle lineare Kette, für deren Frequenz die Dispersionsrelationlineare Kette

gilt. Ihr Verlauf ist in Abbildung 2 wiedergegeben. Für kleine Wellenzahlen lineare Kette gilt in erster Näherung lineare Kette. Die Verschiebungen lineare Kette für die Wellenzahlen lineare Kette und lineare Kette (lineare Kette ganze Zahl) sind identisch, so dass man sich auf die erste Brillouin-Zone mit lineare Kette beschränken kann. Da aus der Periodizitätsbedingung lineare Kette folgt, bedeutet dies ausserdem, dass es nur N physikalisch unterscheidbare Wellenzahlen und damit Schwingungsmoden gibt. Für sehr grosse N kann man die Kontinuumsvorstellung verwenden. Die Anzahl der möglichen Wellenzahlen in einem Wellenzahlenbereich lineare Kette ist dann durch lineare Kette gegeben. Wenn lineare Kette die Anzahl der möglichen Schwingungsmoden mit Frequenzen zwischen lineare Kette und lineare Kette darstellt, gilt also:

lineare Kette

(der Faktor 2 ist nötig, da k zur selben Frequenz lineare Kette sowohl negativ als auch positiv sein kann). Für die Frequenzverteilung der Schwingungsmoden der linearen Kette erhält man

lineare Kette

wobei lineare Kette die maximal mögliche Frequenz darstellt (Abbildung 3). Es gilt natürlich die Normierung

lineare Kette

d.h. insgesamt sind N Schwingungsmoden erlaubt.

Die Variante der linearen Kette mit zwei unterschiedlichen Massen (AB-Kette) lässt sich auf Kristalle anwenden, bei denen sich in der Einheitszelle der Länge a zwei Atome mit unterschiedlichen Massen lineare Kette und lineare Kette in einem Abstand von lineare Kette befinden (Abbildung 4). Der Ansatz mit ebenen Wellen führt jetzt auf die Dispersionsrelation

lineare Kette

deren Verlauf in Abbildung 5 wiedergegeben ist (lineare Kette: reduzierte Masse). Im Gegensatz zur einatomigen Kette treten hier zwei getrennte Zweige auf. Derjenige, dessen Frequenz bei kleinen Wellenzahlen k nicht verschwindet, heisst optischer Zweig, den anderen, dessen Frequenz proportional zu k verschwindet

lineare Kette

, nennt man akustischen Zweig. Das Amplitudenverhältnis der Auslenkungen der schweren und der leichteren Massen lineare Kette ergibt sich zu

lineare Kette

Hieraus folgt, dass die Atome in einer Elementarzelle, insbesondere im Fall langer Wellenlängen, bei den Frequenzen des akustischen Zweiges gleichphasig (lineare Kette) und bei den Frequenzen des optischen Zweiges in entgegengesetzter Phase schwingen (lineare Kette). Bei lineare Kette schwingen im optischen Zweig die beiden Teilgitter starr gegeneinander: lineare Kette; für lineare Kette am Rand der ersten Brillouin-Zone ruhen im optischen Zweig die schweren Massen lineare Kette (lineare Kette), und die leichten Massen lineare Kette schwingen mit entgegengesetzter Amplitude. Dagegen verharrt im akustischen Zweig das Teilgitter der leichten Massen in Ruhe (lineare Kette), während die benachbarten Atome der schweren Massen im Gegentakt schwingen. Das Gitterschwingungsspektrum einer linearen Kette mit den Massen lineare Kette zeigt Abbildung 6.Die Berechnung der Dispersionsrelation für Gitterschwingungen in dreidimensionalen Kristallen verläuft vollkommen analog. Man erhält jedoch aufgrund der grösseren Zahl an Freiheitsgraden auch mehr Zweige, nämlich stets drei akustische (zwei transversale und einen longitudinalen) sowie lineare Kette optische Zweige, wobei s für die Anzahl der Atome in der Einheitszelle steht; für lineare Kette also lineare Kette Zweige (Abbildung 7). Bei den longitudinalen Moden schwingen die Massen wie in dieser Betrachtung längs der Kette (Longitudinalwellen), bei den transversalen Moden hingegen quer dazu (Transversalwellen).

lineare Kette

lineare Kette 1: Eine lineare Kette mit identischen Massen m und den Kraftkonstanten D zwischen nächsten Nachbarn. Der Abstand zweier Massen beträgt a.

lineare Kette

lineare Kette 2: Dispersionsrelation für die lineare Kette mit gleichen Massen. Der Abstand zwischen zwei erlaubten Wellenzahlen k beträgt lineare Kette.

lineare Kette

lineare Kette 3: Gitterspektrum einer einatomigen linearen Kette.

lineare Kette

lineare Kette 4: Zweiatomige lineare Kette mit den Massen m1 und m2. Die Kraftkonstante zwischen nächsten Nachbarn im Abstand a / 2 beträgt D.

lineare Kette

lineare Kette 5: Dispersionsrelation einer zweiatomigen linearen Kette (dargestellt nur für k0). a) m1 < m2. b) m1 = m2. Die Brillouin-Zone wurde erweitert, weil die Elementarzelle bei zwei gleichen Massen verkleinert ist. Dieser Fall entspricht der einatomigen linearen Kette.

lineare Kette

lineare Kette 6: Gitterspektrum einer zweiatomigen linearen Kette mit m1 < m2.

lineare Kette

lineare Kette 7: Dispersionsrelation der Gitterschwingungen eines dreidimensionalen anisotropen Gitters mit zwei Atomen pro Einheitszelle. Dargestellt sind jeweils ein longitudinaler (L) und die beiden transversalen (T) Moden für den optischen (O) und den akustischen (A) Zweig.

 

<< vorhergehender Begriff
nächster Begriff >>
lineare Gleichungssysteme
lineare Regression

 

Diese Seite als Bookmark speichern :

 

Weitere Begriffe : Schulzpfropfen | S-Sterne | JLC

Übersicht | Themen | Unser Projekt | Grosse Persönlichkeiten der Technik | Impressum | Datenschutzbestimmungen