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logistische Abbildung

Abbildung logistische Abbildung der Form

logistische Abbildung

die der diskreten Form der logistischen Gleichung zugrunde liegt. Je nach Werten für den Parameter r ändert sich das qualitative Verhalten der Orbits (der Orbit von x0 ist die Folge der Werte, die man durch fortlaufende Iteration von (1) erhält) der logistischen Abbildung. Für die Parameterwerte logistische Abbildung ist der Nullpunkt ein stabiler Fixpunkt, für logistische Abbildung ist der zweite Fixpunkt logistische Abbildung stabil. Bei logistische Abbildung entsteht ein stabiler Orbit der Periode 2, d.h. für die zweite Iterierte logistische Abbildung sind zwei stabile Fixpunkte entstanden, der ursprünglich stabile Fixpunkt wird hingegen instabil. Diese Periodenverdoppelung ist ein Beispiel für eine Bifurkation. Bei weiterer Vergrösserung von r wird der Orbit von logistische Abbildung an seinen Fixpunkten instabil, es entsteht ein stabiler Orbit der Periode 2, d.h. der Periode 4 von logistische Abbildung. Diese periodenverdoppelnden Bifurkationen wiederholen sich nun, dabei werden die Parameterintervalle mit stabiler Periode 2n immer kürzer. Der Prozess konvergiert für logistische Abbildung bei einem kritischen Wert logistische Abbildung Jenseits von logistische Abbildung ist das Verhalten sehr komplex. Es gibt unendlich viele Parameterintervalle, in denen stabile periodische Orbits existieren, es gibt aber auch Parameterwerte, für die keine stabile Periode existiert. Hier hängt das System empfindlich von den Anfangsbedingungen ab, es verhält sich chaotisch. (Chaos)

 

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