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nicht-kommutative Geometrie

Quantenmechanik, von dem französischen Mathematiker Alain Connes Ende der achtziger Jahre entwickelte Verallgemeinerung geometrischer Konzepte mit algebraischen Methoden.

Als Vorbild diente die Quantisierung der klassischen Mechanik: Die klassische Geometrie ist die symplektische Geometrie des Phasenraumes der Orts- und Impulsvariablen. Die Funktionen über dem Phasenraum, d.h. die klassischen Observablen, bilden unter punktweiser Multiplikation und Addition eine Algebra, wobei die symplektische Struktur des Phasenraumes die Poisson-Struktur (Poisson-Klammer) auf dieser Funktionenalgebra induziert. Ersetzt man diese kommutative Algebra der Funktionen durch eine nicht-kommutative Algebra, wobei die Poisson-Struktur (soweit möglich) durch die Kommutatorrelationen wiedergegeben wird, so erhält man die nicht-kommutative Geometrie des Phasenraumes, d.h. das, was man in der Physik unter der Quantisierung der Mechanik versteht.

Alain Connes und viele andere haben diese Konzepte auf andere Mannigfaltigkeiten mit anderen geometrischen Strukturen - beispielsweise Differentialformen oder metrischen Strukturen - übertragen und so allgemein den Begriff der nicht-kommutativen Geometrie geprägt. Formal handelt es sich um eine Deformation der kommutativen Funktionenalgebra über einer Mannigfaltigkeit zu einer nichtkommutativen Algebra, wobei möglichst viele der durch die geometrischen Strukturen auf der Mannigfaltigkeit induzierten algebraischen Strukturen der Funktionenalgebra auf die nicht-kommutative Algebra übertragen werden sollen. Anwendung findet die nicht-kommutative Geometrie vor allem in der Quantenfeldtheorie und der String-Theorie. (Quantengruppen)

 

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