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Masstheorie

beschäftigt sich mit der Zuordnung gewisser (reeller) Zahlen (Masse) m zu Teilmengen einer gegebenen Grundmenge Masstheorie, so dass gewisse einfache, vom geometrischen Inhaltsbegriff her bekannte, Beziehungen gelten. Sie untersucht die Eigenschaften solcher Masse und der darauf basierenden Integrationstheorien. Soll ein Mass allerdings bestimmte allgemeine Axiome erfüllen, kann es meist nicht auf beliebigen Systemen von Teilmengen einer Grundmenge definiert werden, vielmehr wird als Definitionsbereich immer eine s-Algebra Masstheorie vorausgesetzt, welche neben A auch die Vereinigung jeder unendlichen Folge ihrer Teilmengen enthält. Eine Teilmenge B heisst dann messbar, wenn Masstheorie. Ein Wahrscheinlichkeitsmass ist ein positiv definites normiertes Mass: Masstheorie.

Eine Aussage gilt fast überall bzgl. m in Masstheorie, falls sie höchstens auf einer Nullmenge Masstheorie nicht gilt. Für eine Nullmenge gilt m(N) = 0. Wird eine Menge Masstheorie mit einer beliebigen Nullmenge vereinigt, so bleibt das Mass unverändert, Masstheorie. Hier wird immer Masstheorie und deren beliebige Teilmengen als Nullmengen zu m definiert; deshalb ist eine Menge Masstheorie mit Masstheorie messbar mit Masstheorie. Die s-Algebra der Borel-Mengen enthält alle abzählbar unendlichen Intervallbereiche; darunter fallen insbesondere alle offenen Teilmengen des Phasenraums Masstheorie: jede offene Menge ist Borel-messbar. Folglich gehören auch alle abgeschlossenen Mengen zu dieser s-Algebra.(invariantes Mass)

 

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