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Newton-Verfahren

Mathematische Methoden und Computereinsatz, ein klassisches numerisches Iterationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung der Lösungen (Wurzeln) der Gleichung Newton-Verfahren mit vielen Anwendungen in der numerischen Mathematik, den Natur- und Ingenieurwissenschaften und Verbindungen zu modernen mathematischen Gebieten, z.B. dem der Fraktale. Ist Newton-Verfahren eine approximative Lösung der Gleichung Newton-Verfahren, so gewinnen Näherungsverfahren in der Regel eine verbesserte Lösung aus dem Iterationsschema

Newton-Verfahren

Die Verfahren unterscheiden sich darin, in welcher Weise Newton-Verfahren berechnet wird. Das klassische Newton-Verfahren geht von der Taylorreihenentwicklung der Funktion Newton-Verfahren um Newton-Verfahren aus und bricht dabei nach den Termen linearer Ordnung ab, d.h.

Newton-Verfahren

und ergibt mit der Forderung Newton-Verfahren für

Newton-Verfahren

Bei Wahl eines geeigneten Startwertes kann das Verfahren konvergieren; wenn es konvergiert, so tut es dies mit quadratischer Konvergenzordnung, d.h. der Fehler Newton-Verfahren verhält sich wie

Newton-Verfahren

Anschaulich bedeutet dieses Fehlerverhalten, dass man im Falle der Konvergenz bei jedem Iterationsschritt zwei Dezimalstellen an Genauigkeit gewinnt. Die Fehlerformel zeigt aber auch, dass das Newton-Verfahren in der Umgebung lokaler Extremwerte (diese genügen der notwendigen Bedingung Newton-Verfahren) bzw. in der Nähe einer horizontalen Asymptote Konvergenzprobleme haben kann; hier kommt es entscheidend auf das Verhalten des Vorfaktors Newton-Verfahren an.

Das Newton-Verfahren lässt sich auf vektorwertige Gleichungssysteme Newton-Verfahren mit Newton-Verfahren und Newton-Verfahren erweitern; Newton-Verfahren wird dabei durch die Jacobi-Matrix Newton-Verfahren und Newton-Verfahren durch die Inverse Newton-Verfahren der Jacobi-Matrix ersetzt. Desweiteren findet das Newton-Verfahren in der Menge der komplexen Zahlen seine Fortsetzung (Identifizierung der komplexen Zahlenebene mit dem reellen Vektorraum Newton-Verfahren). Wendet man es auf die komplexe Polynomgleichung Newton-Verfahren an, so ergibt sich das Iterationsschema

Newton-Verfahren

das wegen der Existenz von Newton-Verfahren nicht-notwendigerweise verschiedenen Nullstellen gegen maximal Newton-Verfahren verschiedene Lösungen konvergieren kann. Färbt man die Menge aller Anfangswerte, die gegen dieselbe Lösung Newton-Verfahren konvergieren, mit derselben Farbe ein, so ergibt sich ein Fraktal; wählt man die Farben je nach Zahl von Iterationen, die das Verfahren benötigt, um überhaupt zu konvergieren, so ergibt sich die Mandelbrotmenge, ein nunmehr klassisches Fraktal, das auch als Apfelmännchen bekannt ist.

 

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