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schnelle Fourier-Transformation

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Fast Fourier Transformation, FFT, eine besonders schnelle Variante der diskreten Fourier-Transformation

transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1192" alt="schnelle Fourier-Transformation">

mit transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1193" alt="schnelle Fourier-Transformation">, die angewendet werden kann, wenn die Funktionswerte transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1194" alt="schnelle Fourier-Transformation"> einer Funktion transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1195" alt="schnelle Fourier-Transformation">, die approximativ durch ein trigonometrisches Polynom dargestellt werden soll, für eine Menge von äquidistanten Argumenten transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1196" alt="schnelle Fourier-Transformation"> im Intervall transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1197" alt="schnelle Fourier-Transformation"> mit transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1198" alt="schnelle Fourier-Transformation"> bekannt sind. Der Rechenaufwand der schnellen Fourier-Transformation wächst mit transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1199" alt="schnelle Fourier-Transformation">, im Gegensatz zur üblichen Fourier-Transformation, bei der der Aufwand mit transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1200" alt="schnelle Fourier-Transformation"> wächst. Die Grundidee beruht auf dem Danielson-Lanczos-Lemma, eine diskrete Fourier-Transformation der Länge transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1201" alt="schnelle Fourier-Transformation"> als Summe zweier diskreter Fourier-Transformationen der Länge transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1202" alt="schnelle Fourier-Transformation"> zu bilden, wobei die eine aus den geraden Zahlen, die andere aus den ungeraden der ursprünglichen Reihe besteht und auf die Form transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1203" alt="schnelle Fourier-Transformation"> führt; transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1204" alt="schnelle Fourier-Transformation"> (transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1205" alt="schnelle Fourier-Transformation">) repräsentiert den transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1206" alt="schnelle Fourier-Transformation">-ten Koeffizienten der Fourier-Reihe mit Länge transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1207" alt="schnelle Fourier-Transformation">, die aus den geraden (ungeraden) Komponenten der ursprünglich transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1208" alt="schnelle Fourier-Transformation"> Koeffizienten transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1209" alt="schnelle Fourier-Transformation"> gebildet wird. Diese Teilung in gerade und ungerade Komponenten kann rekursiv fortgesetzt werden, wenn transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1210" alt="schnelle Fourier-Transformation">. Die Buchhaltung und Zuordnung der Komponenten im rekursiven Schema bezüglich der ursprünglichen Reihe führt auf ein Sortierproblem; daraus resultiert der mit transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1211" alt="schnelle Fourier-Transformation"> skalierende Rechenaufwand. Spezielle Varianten der schnellen Fourier-Transformationen existieren auch für kleine primzahlige transformation.gif" v:shapes="_x0000_i1212" alt="schnelle Fourier-Transformation"> (Winograd-Transformation).

 

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