Fourier-Reihe
Martina Wagner
Mathematische Methoden und Computereinsatz, Darstellung einer Funktion f in einem System orthonormaler Funktionen durch die Reihenentwicklung . Die Koeffizienten ck sind bestimmt durch und werden Fourier-Koeffizienten von f genannt. Weil in vielen Anwendungen in Mathematik und Physik 2p-periodische Funktionen eine besondere Rolle spielen, sind die Reihenentwicklungen nach trigonometrischen Funktionen
mit Koeffizienten
die am besten erforschten und ältesten Beispiele von Fourier-Reihen. Sie erschienen erstmals in einer Arbeit J. Fouriers (1807) über Wärmeleitung. Häufig wird nur von Fourier-Reihen gesprochen, wenn trigonometrische Fourier-Reihen gemeint sind. Das erste Konvergenzkriterium für Fourier-Reihen wurde von P. Dirichlet im Jahr 1829 aufgestellt. Er stellte fest: Besitzt eine Funktion f eine endliche Anzahl von Maxima und Minima im Intervall [-p, p] und ist sie überall stetig bis auf eine endliche Anzahl von Punkten mit Unstetigkeiten erster Art, dann konvergiert die Fourier-Reihe für alle x gegen f(x), sofern f in x stetig ist, und gegen (f(x + 0) + f(x - 0))/2 an den Unstetigkeitsstellen. In der Nachfolge von Dirichlet wurden viele weitere Konvergenzkriterien entwickelt. Einige Beispiele für Reihenentwicklungen einfacher Funktionen zeigt die Tabelle.
Im Komplexen lassen sich die (trignonometrischen) Fourier-Reihen besonders elegant mit der Hilfe der Exponentialfunktion ausdrücken: . Der Zusammenhang zwischen den reellen ak, bk und ck liefert
Fourier-Reihe: Einige Beispiele für Fourier-Reihen, bezogen auf das Intervall [-p, p]:
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Funktion |
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Reihendarstellung |
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