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Basis

1) Mathematik: ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes V. Vektoren vi bilden ein Erzeugendensystem, wenn sich jeder Vektor Basis als Linearkombination Basis darstellen lässt. Die Vektoren vi heissen linear unabhängig, wenn die ai hierbei eindeutig bestimmt sind.

Die ai nennt man Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis vi. Derselbe Vektor besitzt zu verschiedenen Basen verschiedene Koordinatendarstellungen, die Transformation von der einen zur anderen Darstellung (Basiswechsel) wird durch eine lineare Abbildung vermittelt, die sich in Matrixform schreiben lässt.

Jeder Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem hat eine Basis. Die Anzahl der Basisvektoren ist dann eindeutig bestimmt und heisst Dimension des Vektorraumes. Die Vektoren ex = (1,0,0), ey = (0,1,0) und ez = (0,0,1) bilden eine Basis des (dreidimensionalen) Anschauungsraumes Basis3, ebenso wie beispielsweise die Vektoren (7,5,4), (3,2,1) und (3,4,5); die Polynome 1, x, x2, ... bilden eine Basis des (unendlichdimensionalen) Funktionenraumes.

In endlichdimensionalen Vektorräumen mit Skalarprodukt lässt sich stets eine orthogonale Basis finden, d.h. eine Basis, in denen die Basisvektoren paarweise orthogonal sind. Sind ausserdem die Basisvektoren auf Eins normiert, spricht man von einer Orthonormalbasis. Die Vektoren ex, ey und ez bilden eine Orthonormalbasis des Anschauungsraumes, die Legendre-Polynome bilden eine orthogonale Basis des Funktionenraumes bezüglich des Skalarproduktes Basis. Transformationen zwischen verschiedenen Orthonormalbasen werden durch orthogonale Matrizen vermittelt.

2) Kristallographie: kleinste Struktureinheit eines Kristalls. Sie kann aus einem Atom, Ion, Molekül oder einer Gruppierung dieser Teilchen bestehen (Bauverband). Durch die Besetzung eine Gitters mit der Basis ergibt sich die Kristallstruktur. In kristallographischen Begriffen wie Basisfläche oder Basisvektor kommen diesem Begriff jedoch hiervon abweichende Bedeutungen zu. [AK1, GB1]

 

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