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Born-von-Kármán-Randbedingung

zyklische oder periodische Grenzbedingung, Grundlage bei der Behandlung der dynamischen Eigenschaften des Kristallgitters (Gitterschwingungen) ohne Berücksichtigung von Oberflächeneffekten. Im Modell eines linearen Gitters entspricht die Born-von-Kármán-Randbedingung der Vorstellung eines geschlossenen Rings von N Atomen, deren Verschiebungen u(l) aus ihren Gleichgewichtslagen der Beziehung u(l) = u(l + N) genügen. Für ein dreidimensionales Gitter gibt es aus topologischen Gründen kein zyklisches Modell. Um Oberflächenerscheinungen auszuklammern, geht man hier zur Vorstellung eines unendlich ausgedehnten Kristallgitters über, das man sich durch räumlich-periodische Fortsetzung von "Makrokristallen" (Parallelepipeden der Kantenlänge Niai) aufgebaut denkt. Dabei sind ai die Gittervektoren der Elementarzelle des Gitters. Einen beliebigen dieser Makrokristalle kann man als den zu untersuchenden Kristall ansehen, bei dem alle Grenzeffekte ignoriert werden. Die sich an den entsprechenden gegenüberliegenden Grenzpunkten dieses Kristalls befindlichen Gitterbausteine bewegen sich gleichartig. Für ebene Wellen exp(ik × r) als Lösungen ergibt sich für die möglichen Wellenzahlvektoren k die Bedingung:

exp(ik × Ni ai) = 1, i = 1, 2, 3, die für die Einführung des Begriffes des reziproken Gitters mit den Basisvektoren bi wesentlich ist. Diese Forderung führt wegen ai × bj = dij auf

k = Born-von-Kármán-Randbedingung b1 + Born-von-Kármán-Randbedingung b2 + Born-von-Kármán-Randbedingung b3 .

Die Bedingung 1/2Ni  < ni  £ 1/2 Ni - 1, i = 1, 2, 3 (Ni gerade) beschränkt die Wellenzahlvektoren k auf die erste Brillouin-Zone.

Die Born-von-Kármán-Randbedingung wurde zuerst von Born und von Kármán (1912) beim Studium der Gitterschwingungen verwendet, sie dient jedoch auch als Periodizitätsbedingung bei der Behandlung von Elektronen und Phononen im Kristallgitter, wenn Oberflächenerscheinungen vernachlässigt werden sollen.

 

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