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Gitterschwingungen

Festkörperphysik, thermische Gitterbewegung, kleine Schwingungen, welche die Atome in einem Festkörper in der Nähe ihrer Gleichgewichtslage vollführen und deren Amplitude mit der Temperatur wächst. Die Gesamtheit der möglichen Schwingungen bildet den Gegenstand der Gitterdynamik. Befinden sich in der Elementarzelle des betrachteten Kristallgitters r Atome und enthält der Kristall N Elementarzellen, dann beträgt die Zahl der Bewegungsfreiheitsgrade aller Atome 3Nr - 6 » 3Nr (da N gewöhnlich sehr gross ist), wenn man von den je drei Freiheitsgraden der Translation und der Rotation des Kristalls als Ganzes absieht. Da die die Kerne umgebenden Elektronen eine um mehr als 103 kleinere Masse als die Kerne haben, können in der adiabatischen Näherung (Born-Oppenheimer-Näherung) die Kern- und die Elektronenbewegung getrennt behandelt werden, so dass die Gitterschwingungen in dieser Näherung die Kernschwingungen darstellen, denen die Elektronen adiabatisch folgen. In der harmonischen Näherung wird die Entwicklung der Energie nach kleinen Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage mit dem Glied zweiter Ordnung abgebrochen. Wegen der Translationsinvarianz des Gitters (Bandstruktur) wird die Bewegungsgleichung für die Auslenkung der Gitterschwingungen u als eine ebene Welle zu

gelöst; k ist der Wellenzahlvektor, l die Nummer der Elementarzelle, s ein Index, der sowohl die Anzahl der Atome in der Elementarzelle als auch die drei Raumrichtungen bei Verwendung kartesischer Koordinaten erfasst.

Die Abhängigkeit der Frequenz von den Wellenzahlvektoren k wird als Dispersionsrelation der Gitterschwingungen bezeichnet. Zu jedem Vektor k gehören 3r Frequenzen; davon verschwinden drei Frequenzen für q Gitterschwingungen 0 gemäss w ~ |k|, die dazugehörigen Lösungen werden als akustische Zweige bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass dann alle r Atome in der Elementarzelle in Phase und mit einheitlicher Amplitude schwingen. Das ist auch charakteristisch für die Verschiebungen eines elastischen Mediums bei der Ausbreitung von Schallwellen. Die verbleibenden (3r - 3) Schwingungen, deren Frequenzen bei k = 0 nicht verschwinden, heissen optische Zweige. Die Atome in der Elementarzelle schwingen nicht in Phase (in zweiatomigen Gittern schwingen die entsprechenden Atome bei k Gitterschwingungen 0 in Gegenphase, AB-Kette); dadurch können z.B. in lonenkristallen schwingende elektrische Dipole auftreten, die Lichtwellen mit Wellenlängen im optischen Bereich absorbieren oder emittieren.

Beim Übergang zur quantenmechanischen Beschreibung muss man die Vertauschungsrelationen der Operatoren der Koordinaten und Impulse berücksichtigen (Phononen).

 

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