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Ergodenhypothese

Thermodynamik und statistische Physik, von L. Boltzmann 1887 aufgestellte Annahme über die Dichte der Trajektorien eines statistischen Ensembles im Phasenraum.

Obwohl sich die exakte Phasenraumtrajektorie eines klassischen statistischen Systems mit N Freiheitsgraden aus der Lösung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen als eindeutige Bahn, also im geometrischen Sinne als eindimensionales Objekt, ergibt, zeigt sich, dass diese Trajektorie für die meisten nicht streng periodischen Bewegungen im Laufe der Zeit mehr oder minder vollständig die gesamte (N - 1)-dimensionale, durch die Energieerhaltung vorgegebene Hyperfläche des Phasenraums überstreicht. In der Ergodenhypothese ist dieser Sachverhalt durch die Forderung formuliert, dass jeder im Rahmen der Energieerhaltung erlaubte Phasenraumpunkt beliebig dicht von einer vom System im Laufe eines grossen Zeitraums tatsächlich durchlaufenen Phasenraumbahn tangiert wird. Makroskopische Systeme, die diesem Postulat gehorchen, werden als ergodisch, hingegen solche, die einen Teil der Energiehyperfläche nicht berühren, als nichtergodisch bezeichnet.

Die wichtige Folgerung dieser Hypothese ist, dass es gleichgültig ist, ob eine aus einer mikroskopischen Grösse abgeleitete makroskopische Grösse als Mittelwert längs der Zeitachse über einen kleinen Teil des Systems oder aber zu einem festen Zeitpunkt über alle Partikel des Ensembles gebildet wird. Der Ensemble- oder Scharmittelwert und das zeitliche Mittel einer Grösse B sind also gleichwertig,

,

so dass die Notwendigkeit der Lösung der Bewegungsgleichungen zur Beschreibung des Systems entfällt.

Trotz vieler Bemühungen ist es nicht zuletzt aufgrund der Komplexität der mathematischen Behandlung dieses Gebietes bis heute strittig, inwieweit die Ergodenhypothese als notwendiges Postulat für den Aufbau der statistischen Physik gelten muss (Ergodentheorie). Offensichtlich kann aber die Austauschbarkeit von Zeit- und Ensemblemittel nur für zeitunabhängige makroskopische Grössen Gültigkeit haben, so dass dieses Theorem nicht als Grundlage dynamischer makroskopischer Theorien angesehen werden kann.

 

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