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Ergodentheorie

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, ein Zweig der Mathematik, der probabilistische Aspekte von dynamischen Systemen behandelt und dabei versucht, die dynamischen Grundlagen der statistischen Mechanik zu erfassen (Boltzmanns Ergodenhypothese). Enge Verbindungen bestehen z.B. zur metrischen Zahlentheorie. Die Grundlagen der Ergodentheorie wurden bereits von H. Poincaré z.B. in seinem Wiederkehrsatz (Poincaréscher Wiederkehrsatz), sowie durch verschiedene Ergodensätze von G.D. Birkhoff, E. Hopf und J. von Neumann bereitgestellt. Eine wichtige Leistung der Ergodentheorie ist die Klassifizierung dynamischer Systeme oder masserhaltender Transformationen nach dem Grad ihrer Stochastizität. In der Reihenfolge zunehmender Zufälligkeit kann man unterscheiden zwischen ergodischen Systemen, mischenden Systemen, K-Systemen, C-Systemen und Bernoulli-Systemen. Sie sind folgendermassen charakterisiert:

Ergodisches Verhalten bedeutet, dass zeitliche Mittelung und die Mittelung mit einem invariantem Mass (stationäre Verteilung) für alle glatten Funktionen f(x) im Phasenraum zum gleichen Ergebnis führen (»Zeitmittel = Scharmittel«). Für ein zeitlich kontinuierliches System heisst das, dass für fast alle Anfangsbedingungen x(t = 0) die Gleichung  gilt, wobei die rechte Seite die Mittelung der Funktion f(x) über das betrachtete invariante Mass bedeutet, das typischerweise auf einem anzugebenden Unterraum des Phasenraums definiert ist. Ein einfaches Beispiel ist die Rotation xt+1 = (xt + a) mod 1, die ein zeitlich diskretes dynamisches System darstellt, das für irrationales a auf dem Kreis ergodisch ist, für rationales a dagegen nicht. Hier wird deutlich, dass diese schwächste Form von zufälligem Verhalten weder chaotisches Verhalten (deterministisches Chaos) noch ein Auseinanderlaufen von Anfangsverteilungen impliziert. Letzteres ist dagegen bei mischendem Verhalten gegeben. In diesem Fall wird ein kleines Phasenraumvolumen (von nicht verschwindendem Mass) im Laufe der zeitlichen Entwicklung im Phasenraum verteilt, ähnlich wie sich ein hinzugefügter Tropfen Milch beim Umrühren von Kaffee in einer Tasse verteilt. Mischendes Verhalten bedeutet insbesondere, dass sich das betrachtete System von einem Nichtgleichgewichtszustand aus einer Gleichgewichtsverteilung annähert. Ferner impliziert Mischen den Zerfall von Korrelationen

und umgekehrt. Eine stärkere Form zufälligen Verhaltens zeigen K-Systeme (nach A.N. Kolmogorow), die durch eine positive Kolmogorow-Sinai-Entropie und damit durch chaotisches Verhalten gekennzeichnet sind. Ein Beispiel hierfür ist das Bunimowitsch-Stadion. Systeme, die zusätzlich überall im Phasenraum hyperbolisch sind (Struktur überall ähnlich wie an einem instabilen Fixpunkt) werden oft als C-Systeme bezeichnet (Beispiele: Arnolds Katzenabbildung und geodätische Bewegung auf Flächen mit überall negativer Krümmung). Den stärksten Grad stochastischen Verhaltens bilden Bernoulli-Systeme, deren Dynamik der Bernoulli-Verschiebung (idealisierte Form eines Münzwurf-Experiments) äquivalent ist. Die Bäcker-Abbildung ist ein solches System.

Zusätzlich zur Ergodentheorie klassischer Systeme wurde inzwischen eine nicht-kommutative Ergodentheorie (Von-Neumann-Algebra) entwickelt, die im Zusammenhang mit Quantenchaos diskutiert wird. [GR2]

 

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