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Erwartungswert

Mathematische Methoden und Computereinsatz, zu einer Zufallsgrösse X mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) die Zahl

.

Der Erwartungswert wird auch als erstes Moment der Verteilung f(x) bezeichnet. Zur empirischen Bestimmung des Erwartungswertes einer Zufallsgrösse berechnet man das arithmetische Mittel einer grossen Zahl N voneinander unabhängiger Realisierungen dieser Zufallsgrösse. Das arithmetische Mittel ist eine erwartungstreue Schätzung für E(X), die Unsicherheit dieser Schätzung nimmt wie N-1/2 ab (zentraler Grenzwertsatz). Wegen dieser Eigenschaft bezeichnet man den Erwartungswert auch häufig als Mittelwert. Der Erwartungswert einer Funktion h(X) der Zufallgrösse ist

.

In der statistischen Physik spricht man von Ensembles statt von Zufallsgrössen und arbeitet mit Ensemble-Mittelwerten statt mit Erwartungswerten; dieser Unterschied bezieht sich jedoch nur auf die anschauliche Deutung, nicht auf die mathematische Struktur. In der Quantenmechanik ist das Ergebnis einer Messung selbst dann eine Zufallsgrösse, wenn der Zustand des Systems vor der Messung bekannt ist. Der Erwartungswert des Messergebnisses ist dann

,

wobei A der Operator ist, welcher der zu messenden Grösse entspricht, |yñ den Zustand des Systems vor der Messung bezeichnet und y(x) die Wellenfunktion ist. In der Quantenstatistik beschreibt man ein System nicht durch einen Zustandsvektor, sondern durch den Dichteoperator D, der Erwartungswert ist hier áAñ = Tr(AD).

 

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