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Parsevalsche Gleichung

OptikMathematische Methoden und Computereinsatz, Abgeschlossenheitsrelation, Verschärfung der Bessel-Ungleichung. Sei Parsevalsche Gleichung ein abzählbares orthonormales Funktionensystem im Hilbert-Raum H. Die Bessel-Ungleichung garantiert, dass für jedes Parsevalsche Gleichung die (verallgemeinerte) Fourier-Reihe Parsevalsche Gleichung wieder ein Element in H ist; die (verallgemeinerten) Fourier-Koeffizienten Parsevalsche Gleichung sind durch das Skalarprodukt Parsevalsche Gleichung in H gegeben, also Parsevalsche Gleichung. Ist die Parsevalsche Gleichung

Parsevalsche Gleichung

erfüllt, so gilt Parsevalsche Gleichung. Ist Parsevalsche Gleichung vollständig, so konvergiert Parsevalsche Gleichung für jedes Parsevalsche Gleichung. Parsevalsche Gleichung heisst abgeschlossen, wenn die Parsevalsche Gleichung für jedes Parsevalsche Gleichung gilt, und schliesslich ist die Abgeschlossenheit von Parsevalsche Gleichung äquivalent mit seiner Vollständigkeit. Die Parsevalsche Gleichung lässt sich verallgemeinern auf nicht-abzählbare orthonormale Funktionensysteme bzw. auf solche, die eine Vereinigung von abzählbaren und nicht-abzählbaren Funktionensystemen darstellen; anstelle der Reihe Parsevalsche Gleichung tritt dann sinngemäss das Integral Parsevalsche Gleichung bzw. eine Summe aus Reihe und Integral auf, und die Parsevalsche Gleichung nimmt die Gestalt

Parsevalsche Gleichung

an.

In der Optik beschreibt die Parsevalsche Gleichung die Beziehung zwischen einem abgestrahlten elektromagnetischen Feld f(t) bzw. der emittierten Energie und der spektralen Energieverteilung F(w) als Fourier-Transformierter von f(t), die emittierte Energie ist proportional zu Parsevalsche Gleichung.

Erweitert man die Integrationsgrenzen, kann man mit

Parsevalsche Gleichung

die Fourier-Transformation

Parsevalsche Gleichung

ausführen und erhält nach Vertauschen der Integrationsgrenzen die Parsevalsche Gleichung:

Parsevalsche Gleichung

 

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