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Potenzreihe

Mathematische Methoden und Computereinsatz, unendliche Reihe der Form

Potenzreihe

wobei die Koeffizienten Potenzreihe aus einem Körper Potenzreihe, z.B. Potenzreihe, stammen, Potenzreihe eine unabhängige Variable, z.B. eine komplexe Zahl, oder aber auch ein Operator ist, und Potenzreihe Entwicklungspunkt heisst. Im Falle Potenzreihe und Potenzreihe konvergiert Potenzreihe entweder absolut und gleichmässig auf ganz Potenzreihe, oder es gibt einen Konvergenzradius Potenzreihe, so dass Potenzreihe innerhalb des Kreises Potenzreihe mit Radius Potenzreihe und Mittelpunkt Potenzreihe absolut und gleichmässig konvergiert, ausserhalb des Kreises aber divergiert, wobei Potenzreihe der Formel von Cauchy-Hadamard

Potenzreihe

genügt. Potenzreihe ist eine auf Potenzreihe holomorphe (analytische) Funktion; ihre Ableitung kann durch gliedweise Differentiation berechnet werden. Ist Potenzreihe eine auf Potenzreihe holomorphe Funktion, so kann Potenzreihe in jedem Punkt Potenzreihe in eine Potenzreihe entwickelt werden, wobei die Koeffizienten Potenzreihe eindeutig durch die Potenzreihe-ten Ableitungen Potenzreihe bestimmt sind,

Potenzreihe

Potenzreihe heisst in diesem Fall auch Taylor-Reihe von Potenzreihe um Potenzreihe. Beispiel: Die Funktion Potenzreihe besitzt um Potenzreihe die Taylor-Reihenentwicklung

Potenzreihe

mit Konvergenzradius Potenzreihe. Dies ergibt sich aus der komplexen Produktdarstellung von Potenzreihe, aus der ersichtlich ist, dass Potenzreihe in Potenzreihe Polstellen besitzt. Der grösste Kreis um Potenzreihe, auf dem Potenzreihe holomorph ist, ist also der mit Radius Potenzreihe.

Ein Potenzreihenansatz

Potenzreihe

wird manchmal auch zur Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere solcher höherer Ordnung, verwendet, indem durch Koeffizientenvergleich die Potenzreihe bestimmt werden. Insbesondere bei linearen Differentialgleichungen spielt diese Technik eine Rolle, da der Grenzwert Potenzreihe gebildet werden kann; sie führt auf viele der als spezielle Funktionen bekannten Lösungen in der Physik.

 

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