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Taylor-Reihe

Mathematische Methoden und Computereinsatz, die nach B. Taylor benannte Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt Taylor-Reihe, wobei sich die Koeffizienten als Ableitungen der Funktion in Taylor-Reihe ergeben. Im einfachsten Fall einer skalar- und reellwertigen Funktion Taylor-Reihe mit stetigen Ableitungen Taylor-Reihe-ter Ordnung auf dem kompakten Intervall Taylor-Reihe ergibt sich die Taylor-Reihe

Taylor-Reihe

um einen Entwicklungspunkt Taylor-Reihe bzw. als Taylor-Reihe bis zur Ordnung Taylor-Reihe

Taylor-Reihe

mit Taylor-Reihe-ter Ableitung Taylor-Reihe und Lagrangeschem Restglied

Taylor-Reihe

Die Taylor-Entwicklung ist genau dann möglich, wenn Taylor-Reihe. Bemerkenswert ist, dass unter diesen Voraussetzungen Taylor-Reihe nur aus der Kenntnis von Taylor-Reihe und entsprechenden Ableitungen in Taylor-Reihe berechenbar ist. Wichtige Beispiele in der Physik sind die Taylor-Reihen der Funktionen

Taylor-Reihe

Taylor-Reihe

Taylor-Reihe

Der Konvergenzradius einer Taylor-Reihe folgt aus der Formel von Cauchy-Hadamard (Potenzreihe); anschaulich (Beispiel: Potenzreihe) ergibt sich der Konvergenzradius mit Mitteln der Funktionentheorie als Abstand von Taylor-Reihe bis zur nächsten Polstelle bzw. wesentlichen Singularität der Funktion Taylor-Reihe.

Für eine reellwertige Funktion Taylor-Reihe, die von einem Vektor Taylor-Reihe abhängt, nimmt die Taylor-Reihe die Gestalt

Taylor-Reihe

an. In der Physik werden häufig die Taylor-Reihen komplizierter Funktionen oder Ausdrücke nach dem linearen oder quadratischen Term abgebrochen; insbesondere die Linearisierung wie auch die Abschätzung von Fehler und Fehlerfortpflanzung basieren auf dieser Vorgehensweise.

 

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